Abbildung 2 zeigt eine Figur, die modellhaft das Wappen eines Sportvereins beschreibt. Die Begrenzungslinien der Figur werden durch einen Teil der Gerade mit der Gleichung \(y = 5\) sowie durch die Kurvenstücke \(H_1\) und \(H_2\) beschrieben:
- \(H_1\) entsteht, indem \(G\) für \(x \in [\ln{5};5]\) an der Gerade mit der Gleichung \(y = x\) gespiegelt wird.
- \(H_2\) entsteht durch Spiegeln von \(H_1\) an der Gerade mit der Gleichung \(x = \ln{5}\).
Abb. 2
Der Punkt \(S(\ln{5}|\ln{5})\) ist gemeinsamer Punkt von \(H_1\) und \(H_2\).
Begründen Sie, dass mit dem Term \(\displaystyle 2 \cdot \left( (5 - \ln{5}) \cdot \ln{5} - \int_{\ln{5}}^5 f(x)dx\right)\) der Flächeninhalt der Figur berechnet werden kann.
(5 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1d
\[2 \cdot \left( (5 - \ln{5}) \cdot \ln{5} - \int_{\ln{5}}^5 f(x)dx\right)\]
Es ist sinnvoll die Begründung durch geeignete Eintragungen in den Abbildungen 1 und 2 zu veranschaulichen.
Abb. 2
Abb. 1
Begründung:
Der Wert des Terms \(5 - \ln{5} \cdot \ln{5}\) entspricht dem Flächeninhalt eines Rechtecks mit der Länge \(5 - \ln{5}\) und der Breite \(\ln{5}\).
Der Wert des Integrals \(\displaystyle \int_{\ln{5}}^5 f(x)dx\) entspricht dem Inhalt des Flächenstücks, das \(G\) im Intervall \([\ln{5};5]\) mit der \(x\)-Achse einschließt.
Somit entspricht der Wert der Differenz \(\displaystyle (5 - \ln{5}) \cdot \ln{5} - \int_{\ln{5}}^5 f(x)dx\) dem Inhalt der schraffierten Fläche (vgl. Eintragungen Abbildung 1).
Spiegelt man die schraffierte Fläche an der Gerade mit der Gleichung \(y = x\), entsteht die linke Hälfte der Figur.
Also entspricht der Wert des Terms \(\displaystyle 2 \cdot \left( (5 - \ln{5}) \cdot \ln{5} - \int_{\ln{5}}^5 f(x)dx\right)\) dem Flächeninhalt der Figur.
