Weisen Sie nach, dass \(\dfrac{6-3x}{8 \cdot \sqrt{6-x}}\) ein Term der ersten Ableitungsfunktion \(f'\) von \(f\) ist. Ermitteln Sie \(\lim \limits_{x\, \to\, 6}f'(x)\) und deuten Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.
(6 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1c
\[f(x) = 0{,}25 \cdot (x+6) \cdot \sqrt{6-x}; \; D_{f} = \; ]-\infty;6]\]
Nachweis der ersten Ableitungsfunktion \(f'\)
Um die Ableitungsfunktion \(f'\) zu bilden, kann es hilfreich sein, den Wurzelterm von \(f\) in der Potenzschreibweise zu formulieren.
Für die Ableitung wird u. a. die Produkt- und die Kettenregel benötigt.
\[\begin{align*}f(x) &= 0{,}25 \cdot (x+6) \cdot \sqrt{6-x} &&| \; \sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} \\[0.8em] &= 0{,}25 \cdot (x+6) \cdot (6-x)^{\frac{1}{2}}\end{align*}\]
Ohne Potenzschreibweise:
\[f(x) = \textcolor{#e9b509}{0{,}25} \cdot \textcolor{#0087c1}{(x+6)} \cdot \textcolor{#cc071e}{\sqrt{6-x}}\]
Ableitungen der Grundfunktionen
\[c' = 0 \enspace (c \in \mathbb R)\]
\[\left( x^r \right)' = r \cdot x^{r - 1} \enspace (r \in \mathbb R)\]
\[\left( \sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]
\[\left( \sin{x} \right)' = \cos{x}\]
\[\left( \cos{x} \right)' = -\sin{x}\]
\[\left( \ln{x} \right)' = \frac{1}{x}\]
\[\left( \log_{a}{x}\right)' = \frac{1}{x \cdot \ln{a}}\]
\[\left( e^x \right)' = e^x\]
\[\left(a^x \right)' = a^x \cdot \ln{a}\]
Faktorregel
\[\begin{align*}f(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u(x)} \\[0.8em] f'(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u'(x)}\end{align*}\]
Summenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} + \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} + \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
Produktregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} + \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
Quotientenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u(x)}}{\textcolor{#cc071e}{v(x)}} \\[0.8em] f'(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} - \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}}{[\textcolor{#cc071e}{v(x)}]^{2}}\end{align*}\]
Kettenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
\[\begin{align*} f'(x) &= \textcolor{#e9b509}{0{,}25} \cdot \bigg(\underbrace{\textcolor{#0087c1}{1} \cdot \textcolor{#cc071e}{\sqrt{6-x}} + \textcolor{#0087c1}{(x+6)} \cdot \overbrace{\textcolor{#cc071e}{\frac{1}{2\sqrt{6-x}} \cdot (-1)}}^{\large{\text{Kettenregel}}}}_{\large{\text{Produktregel}}} \bigg) \\[0.8em] &= 0{,}25 \bigg( \sqrt{6-x} - \frac{(x+6)}{2\sqrt{6-x}}\bigg) &&| \; \text{gemeinsamer Nenner}\; 2\sqrt{6-x} \\[0.8em] &= 0{,}25 \cdot \bigg( \frac{2\sqrt{6-x} \cdot \sqrt{6-x}}{2\sqrt{6-x}} - \frac{(x+6)}{2\sqrt{6-x}}\bigg) \\[0.8em] &= 0{,}25 \cdot \frac{2(6-x) - (x + 6)}{2\sqrt{6-x}} \\[0.8em] &= 0{,}25 \cdot \frac{12 - 2x - x - 6}{2\sqrt{6-x}} \\[0.8em] &= \frac{1}{4} \cdot \frac{6 - 3x}{2\sqrt{6-x}} \\[0.8em] &= \frac{6 - 3x}{8\sqrt{6-x}}\end{align*}\]
Mit Potenzschreibweise:
\[f(x) = \textcolor{#e9b509}{0{,}25} \cdot \textcolor{#0087c1}{(x+6)} \cdot \textcolor{#cc071e}{(6-x)^{\frac{1}{2}}}\]
\[\begin{align*} f'(x) &= \textcolor{#e9b509}{0{,}25} \cdot \bigg(\underbrace{\textcolor{#0087c1}{1} \cdot \textcolor{#cc071e}{(6-x)^{\frac{1}{2}}} + \textcolor{#0087c1}{(x+6)} \cdot \overbrace{\textcolor{#cc071e}{\frac{1}{2} \cdot (6-x)^{-\frac{1}{2}} \cdot (-1)}}^{\large{\text{Kettenregel}}}}_{\large{\text{Produktregel}}} \bigg) &&| \; a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}, \; a^{-r} = \frac{1}{a^r}\\[0.8em] &= \textcolor{#e9b509}{0{,}25} \cdot \bigg(\textcolor{#0087c1}{1} \cdot \textcolor{#cc071e}{\sqrt{6-x}} + \textcolor{#0087c1}{(x+6)} \cdot \textcolor{#cc071e}{\frac{1}{2\sqrt{6-x}} \cdot (-1)} \bigg) \\[0.8em] &= 0{,}25 \bigg( \sqrt{6-x} - \frac{(x+6)}{2\sqrt{6-x}}\bigg) &&| \; \text{gemeinsamer Nenner}\; 2\sqrt{6-x} \\[0.8em] & \enspace \vdots \\[0.8em] &=\frac{6 - 3x}{8\sqrt{6-x}}\end{align*}\]
\(\lim \limits_{x\, \to\, 6}f'(x)\) und Interpretation des Ergebnisses im Sachzusammenhang
\[\lim \limits_{x\,\to\,6} f'(x) = \lim \limits_{x\,\to\,6} \frac{\textcolor{#0087c1}{\overbrace{6-3x}^{\to\,-12}}}{8\textcolor{#cc071e}{\underbrace{\sqrt{6-x}}_{\to\,0^+}}} = -\infty\]
Deutung des Ergebnisses im Sachzusammenhang:
Der Federball trifft senkrecht auf dem Boden auf.
Ergänzende Erklärung (nicht verlangt)
Die Ableitungsfunktion \(\textcolor{#cc071e}{f'}\) beschreibt die Steigung des Graphen von \(f\). Für \(x \to 6\) nimmt die Steigung beliebig große negative Werte an, sodass der Graph von \(f\) im Punkt \((6|0)\) (vgl. Teilaufgabe b) senkrecht zur \(x\)-Achse ist.
Da der Graph von \(f\) die Flugbahn des Federballs für den betrachteten Schlag beschreibt, bedeutet das Ergebnis \(\lim \limits_{x\,\to\,6} f'(x) = -\infty\) im Sachzusammenhang, dass der Federball 6 m hinter dem Netz in Hälfte B senkrecht auftrifft, wenn die Flugbahn nicht unterbrochen wird.
