An einem Samstagvormittag kommen nacheinander vier Familien zum Eingangsbereich eines Freizeitparks. Jede der vier Familien bezahlt an einer der sechs Kassen, wobei davon ausgegangen werden soll, dass jede Kasse mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gewählt wird. Beschreiben Sie im Sachzusammenhang zwei Ereignisse \(A\) und \(B\), deren Wahrscheinlichkeiten sich mit den folgenden Termen berechnen lassen:
\[P(A) = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}{6^{4}}; \enspace P(B) = \frac{6}{6^{4}}\]
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1
\[P(A) = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}{6^{4}}\]
\(A\): „Die vier Familien zahlen an verschiedenen Kassen."
\[P(B) = \frac{6}{6^{4}}\]
\(B\): „Alle vier Familien zahlen an derselben Kasse."
Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)
Da „davon ausgegangen werden soll, dass jede Kasse mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gewählt wird" (vgl. Angabe), kann die Wahl einer der sechs Kassen als Laplace-Experiment aufgefasst werden.
Laplace-Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses \(A\)
\[P(A) = \frac{\vert A \vert}{\vert \Omega \vert} = \frac{\text{Anzahl der für} \; A \; \text{günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}}\]
Voraussetzung: Alle Ergebnisse (alle Versuchsausgänge) des betrachteten Zufallsexperiments sind gleichwahrscheinlich (Laplace-Experiment).
\[P(A) = \frac{\textcolor{#e9b509}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}}{\textcolor{#0087c1}{6^{4}}}\]
Grundformeln der Kombinatorik
Viele mehrstufige Zufallsexperimente können mithilfe sogenannter Urnenmodelle veranschaulicht werden. Aus einer Urne mit \(\boldsymbol{n}\) unterscheidbaren Kugeln wird \(\boldsymbol{k}\)-mal eine Kugel gezogen.
Die Modelle lassen sich in die Fälle mit/ohne Zurücklegen bzw. mit/ohne Beachtung der Reihenfolge der gezogenen Kugeln unterteilen.
\[n^{k}\]
\(n\): Anzahl der Unterscheidungsmerkmale
\(k\): Anzahl der Wiederholungen
Beispiel:
Wieviele Möglichkeiten gibt es, vier Wände eines Kinderzimmers in den Farben Seesternorange, Frochschgrün, Libellenblau, Käferrot oder Bienengelb zu streichen?
\(\textcolor{#cc071e}{n = 5}\), da fünf verschiedene Farben zur Verfügung stehen.
\(\textcolor{#0087c1}{k = 4}\), da viermal eine Farbe zu wählen ist.
Somit \(\textcolor{#cc071e}{5}^{\textcolor{#0087c1}{4}} = 625\) Möglichkeiten
- nicht abiturrelevant -
\(n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot (n - k + 1)\)
Spezialfall: \(n!\) für \(k = n\) (Permutationen)
\(n\): Anzahl der Unterscheidungsmerkmale
\(k\): Anzahl der Wiederholungen
Beispiel:
Wieviele Möglichkeiten gibt es, vier Wände eines Kinderzimmers in den Farben Seesternorange, Frochschgrün, Libellenblau, Käferrot oder Bienengelb zu streichen, wenn jede Wand eine andere Farbe bekommen soll?
\(\textcolor{#cc071e}{n = 5}\), da fünf verschiedene Farben zur Verfügung stehen.
\(\textcolor{#0087c1}{k = 4}\), da viermal eine Farbe zu wählen ist.
Für die erste Wand stehen fünf Farben zur Auswahl, für die zweite Wand noch vier Farben, für die dritte Wand noch drei Farben und für die vierte Wand schließlich nur noch zwei Farben.
Somit \(\underbrace{\textcolor{#cc071e}{5} \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}_{\textcolor{#0087c1}{k\,=\,4}} = 120\) Möglichkeiten
\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} = \frac{n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot (n - k + 1)}{k!}\]
Der Binomialkoeffizient \(\displaystyle \binom{n}{k}\) gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus einer Menge mit \(n\) Elementen eine Teilmenge mit \(k\) Elementen zu bilden (vgl. Merkhilfe).
Beispiel:
Von 30 Schüler*innen können acht Schüler*innen an einer Studienfahrt teilnehmen. Die Teilnehmer*innen werden per Los entschieden. Wieviele mögliche Gruppierungen gibt es?
\(n = 30\)
\(k = 8\)
Somit \(\displaystyle \binom{30}{8} = 5852925\) mögliche Gruppen aus jeweils acht Schüler*innen.
Es gibt insgesamt \(\textcolor{#0087c1}{6^{4}}\) Möglichkeiten dafür, dass die vier Familien eine der sechs möglichen Kassen wählen.
Es gibt \(\textcolor{#e9b509}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3}\) Möglichkeiten dafür, dass die vier Familien nacheinander verschiedene Kassen wählen. Die erste Familie wählt eine der 6 Kassen, die zweite Familie wählt eine der 5 anderen Kassen, usw.
\(\Rightarrow \enspace A\): „Die vier Familien zahlen an verschiedenen Kassen."
\[P(B) = \frac{\textcolor{#e9b509}{6}}{\textcolor{#0087c1}{6^{4}}}\]
Grundformeln der Kombinatorik
Viele mehrstufige Zufallsexperimente können mithilfe sogenannter Urnenmodelle veranschaulicht werden. Aus einer Urne mit \(\boldsymbol{n}\) unterscheidbaren Kugeln wird \(\boldsymbol{k}\)-mal eine Kugel gezogen.
Die Modelle lassen sich in die Fälle mit/ohne Zurücklegen bzw. mit/ohne Beachtung der Reihenfolge der gezogenen Kugeln unterteilen.
\[n^{k}\]
\(n\): Anzahl der Unterscheidungsmerkmale
\(k\): Anzahl der Wiederholungen
Beispiel:
Wieviele Möglichkeiten gibt es, vier Wände eines Kinderzimmers in den Farben Seesternorange, Frochschgrün, Libellenblau, Käferrot oder Bienengelb zu streichen?
\(\textcolor{#cc071e}{n = 5}\), da fünf verschiedene Farben zur Verfügung stehen.
\(\textcolor{#0087c1}{k = 4}\), da viermal eine Farbe zu wählen ist.
Somit \(\textcolor{#cc071e}{5}^{\textcolor{#0087c1}{4}} = 625\) Möglichkeiten
- nicht abiturrelevant -
\(n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot (n - k + 1)\)
Spezialfall: \(n!\) für \(k = n\) (Permutationen)
\(n\): Anzahl der Unterscheidungsmerkmale
\(k\): Anzahl der Wiederholungen
Beispiel:
Wieviele Möglichkeiten gibt es, vier Wände eines Kinderzimmers in den Farben Seesternorange, Frochschgrün, Libellenblau, Käferrot oder Bienengelb zu streichen, wenn jede Wand eine andere Farbe bekommen soll?
\(\textcolor{#cc071e}{n = 5}\), da fünf verschiedene Farben zur Verfügung stehen.
\(\textcolor{#0087c1}{k = 4}\), da viermal eine Farbe zu wählen ist.
Für die erste Wand stehen fünf Farben zur Auswahl, für die zweite Wand noch vier Farben, für die dritte Wand noch drei Farben und für die vierte Wand schließlich nur noch zwei Farben.
Somit \(\underbrace{\textcolor{#cc071e}{5} \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}_{\textcolor{#0087c1}{k\,=\,4}} = 120\) Möglichkeiten
\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} = \frac{n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot (n - k + 1)}{k!}\]
Der Binomialkoeffizient \(\displaystyle \binom{n}{k}\) gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus einer Menge mit \(n\) Elementen eine Teilmenge mit \(k\) Elementen zu bilden (vgl. Merkhilfe).
Beispiel:
Von 30 Schüler*innen können acht Schüler*innen an einer Studienfahrt teilnehmen. Die Teilnehmer*innen werden per Los entschieden. Wieviele mögliche Gruppierungen gibt es?
\(n = 30\)
\(k = 8\)
Somit \(\displaystyle \binom{30}{8} = 5852925\) mögliche Gruppen aus jeweils acht Schüler*innen.
Es gibt insgesamt \(\textcolor{#0087c1}{6^{4}}\) Möglichkeiten dafür, dass die vier Familien eine der sechs möglichen Kassen wählen.
Es gibt \(\textcolor{#e9b509}{6}\) Möglichkeiten dafür, dass alle Familien dieselbe Kasse wählen. Alle wählen Kasse 1 oder alle wählen Kasse 2 usw.
\(\Rightarrow \enspace B\): „Alle vier Familien zahlen an derselben Kasse."