Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens zwei Inhaber eines Abonnements unter den Gewinnern sind.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1c
\[1 - \left(\frac{\displaystyle \binom{40}{0} \cdot \binom{160}{5}}{\displaystyle \binom{200}{5}} + \frac{\displaystyle \binom{40}{1} \cdot \binom{160}{4}}{\displaystyle \binom{200}{5}}\right) \approx 0{,}262 = 26{,}2\,\%\]
Ergänzende Erklärung (nicht verlangt)
„Mindestens zwei Abonnenten ..." bedeutet bei insgesamt fünf verlosten Büchern, dass zwei, drei, vier oder fünf der 40 Abonnenten unter den Gewinnern sind.
Anstatt die Wahrscheinlichkeiten dafür zu addieren, lohnt sich die Betrachtung des Gegenereignisses. Das Gegenereignis zu „Mindestens zwei Abonnenten ..." lautet „Höchstens ein Abonnent ...", also „kein Abonnent ..." oder „Ein Abonnent ...".
Subtrahiert man die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses „Höchstens ein Abonnent ..." von 100 % bzw. eins, erhält man die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „Mindestens zwei Abonnenten ...".
\[\underbrace{1 - \underbrace{\left(\smash{\underbrace{\frac{\displaystyle \binom{\textcolor{#cc071e}{40}}{\textcolor{#cc071e}{0}} \cdot \binom{160}{5}}{\displaystyle \binom{200}{5}}}_{P(\textcolor{#cc071e}{\text{„kein Abonnent ..."}})} + \underbrace{\frac{\displaystyle \binom{\textcolor{#cc071e}{40}}{\textcolor{#cc071e}{1}} \cdot \binom{160}{4}}{\displaystyle \binom{200}{5}}}_{P(\textcolor{#cc071e}{\text{„Ein Abonnent ..."}})}} \vphantom{\frac{\displaystyle \binom{40}{0} \cdot \binom{160}{5}}{\displaystyle \binom{200}{5}}}\right) \vphantom{\underbrace{\frac{\displaystyle \binom{40}{0} \cdot \binom{160}{5}}{\displaystyle \binom{200}{5}}}_{P(\text{„kein Abonnent ..."})}}}_{P(\text{„Höchstens ein Abonnent ..."})}}_{P(\text{„Mindestens zwei Abonnenten ..."})}\approx 0{,}262 = 26{,}2\,\%\]
