Betrachtet werden die in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(f\) und \(F\), wobei \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist. Abbildung 1 zeigt den Graphen \(G_F\) von \(F\).

Abbildung 1 Analysis 2 Prüfungsteil A Mathematik Abitur Bayern 2022Abb. 1

Bestimmen Sie den Wert des Integrals \(\displaystyle \int_1^7 f(x)dx\).

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2a

 

Graphische Bestimmung der Funktionswerte F(1) und F(7)Abb. 1 

Mithilfe von Abbildung 1 ergibt sich:

Berechnung / Eigenschaften bestimmter Integrale

Berechnung bestimmter Integrale

\[\int_{a}^{b} f(x)\,dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\]

Dabei ist \(F\) eine beliebige Stammfunktion zu \(f\).

(vgl. Merkhilfe)

Eigenschaften des bestimmten Integrals - Integrationsregeln

Identische Integrationsgrenzen:

\[\int_{a}^{a} f(x)\,dx = 0\]

Faktorregel:

\(\displaystyle \int_{a}^{b} c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_{a}^{b} f(x)\,dx\) mit \(c \in \mathbb R\)

Summenregel:

\[\int_{a}^{b} \left[f(x) \pm g(x) \right] dx = \int_{a}^{b}f(x)\,dx \pm \int_{a}^{b}g(x)\,dx\]

Vertauschungsregel:

\[\int_{a}^{b}f(x)\,dx = -\int_{b}^{a}f(x)\,dx\]

Zerlegung in Teilintervalle:

\(\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx = \int_{a}^{c}f(x)\,dx + \int_{c}^{b}f(x)\,dx\) mit \(a \leq c \leq b\)

\[\int_1^7 f(x)dx = \textcolor{#0087c1}{F(7)} - \textcolor{#0087c1}{F(1)} = \textcolor{#0087c1}{5} - \textcolor{#0087c1}{1} = 4\]