Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von \(g\) im Punkt \(P\,(0|3)\).
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1b
\[g(x) = \sqrt{3x + 9}\,; \quad D_g = [-3; +\infty[\]
\[P\,(0|3)\]
1. Lösungsansatz: Tangentengleichung
Gleichung einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\;(x_0|f(x_0)) \):
\[y = f'(x_{0}) \cdot (x - x_{0}) + f(x_{0})\]
\[T\,\colon\,y = g'(x_{P}) \cdot (x - x_{P}) + g(x_{P})\]
\[x_{P} = 0\]
1. Ableitung g' bilden:
Kettenregel
\[f(x) = u(v(x)) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) \]
Ableitung einer Potenzfunktion
\[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = rx^{r - 1} \quad (r \in \mathbb R)\]
Ableitung einer Wurzelfunktion
\[f(x) = \sqrt{g(x)} \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}} \quad (g(x) \geq 0)\]
(vgl. Merkhilfe)
\[g(x) = \sqrt{3x + 9} = (3x + 9)^{\frac{1}{2}}\]
\[g'(x) = \frac{1}{2} \cdot (3x + )^{-\frac{1}{2}} \cdot 3 = \frac{3}{2 \sqrt{3x + 9}}\]
oder
\[g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{3x + 9}} \cdot 3 = \frac{3}{2\sqrt{3x + 9}}\]
\[g'(0) = \frac{3}{2 \cdot \sqrt{3 \cdot 0 + 9}} = \frac{1}{2}\]
\[\begin{align*} y &= g'(x_{P}) \cdot (x - x_{P}) + g(x_{P}) \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot (x - 0) + 3 \\[0.8em] &= \frac{1}{2}x + 3 \end{align*}\]
\[T\,\colon\, y = \frac{1}{2}x + 3\]
2. Lösungsansatz: Allgemeine Geradengleichung
Allgemeine Geradengleichung
\[y = mx + t\]
Wobei \(m\) die Steigung und \(t\) der \(y\)-Achsenabschnitt der Geraden ist.
\[T\,\colon\,y = m_{T} \cdot x + t\,; \quad P\,(0|3)\]
Tangentensteigung bestimmen:
Anwendung der Differetialrechnung:
Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\)
\[m_{T} = f'(x_0)\]
(vgl. Merkhilfe)
\(\displaystyle g'(x) = \frac{3}{2 \cdot \sqrt{3x + 9}}\;\) (siehe 1. Lösungsansatz)
\[m_{T} = g'(0) = \frac{3}{2 \cdot \sqrt{3 \cdot 0 + 9}} = \frac{1}{2}\]
\(y\)-Achsenabschnitt \(t\) der Tangente bestimmen:
Da der Punkt \(P\,(0|3)\) auf der \(y\)-Achse liegt, kann der \(y\)-Achsenabschnitt \(t\) der Tangente \(T\) dem Punkt \(P\) entnommen werden.
\[P\,(0|3) \quad \Longrightarrow \quad t = y_{P} = 3\]
\[\Longrightarrow \quad T\,\colon\, y = \frac{1}{2}x + 3\]
Tangente \(T\) an den Graphen der Funktion \(g\) im Punkt \(P\,(0|3)\)
