Eine Kiste enthält vier blaue, zwei gelbe und drei rote Bausteine. Zwei Bausteine werden zufällig entnommen.

Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die beiden Bausteine die gleiche Farbe haben, \(\frac{5}{18}\) beträgt.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2a

 

1.Lösungsansatz: Baumdiagramm (2-stufiges Zufallsexperiment)

 

Die Kiste enthält insgesamt \(4 + 2 + 3 = 9\) Bausteine.

Betrachtet werden die Ereignisse \(\{R,R\}\) (zweimal Rot), \(\{G,G\}\) (zweimal Grün) und \(\{B,B\}\) (zweimal Blau).

 

Baumdiagramm: 2-stufiges Zufallsexperiment mit Hervorhebung der relevanten Pfade

 

Entnehmen von zwei Bausteinen gleicher Farbe:

Baumdiagramm - Pfadregeln (Knoten-, Produkt-, Summenregel)

Pfadregeln

Verzweigungsregel (Knotenregel)

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten an den Ästen, die von einem Knoten ausgehen, ist gleich eins.

1. Pfadregel (Produktregel)

Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der zu dem Ergebnis führt.

2. Pfadregel (Summenregel)

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die zu diesem Ereignis gehören.

\[P(\{R,R\}) = \frac{3}{9} \cdot \frac{2}{8} = \frac{6}{72} = \frac{3}{36}\]

\[P(\{G,G\}) = \frac{2}{9} \cdot \frac{1}{8} = \frac{2}{72} = \frac{1}{36}\]

\[P(\{B,B\}) = \frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{12}{72} = \frac{6}{36}\]

 

\[\begin{align*}P(\text{gleiche Farbe}) &= P(\{R,R\}) + P(\{G,G\}) + P(\{B,B\}) \\[0.8em] &= \frac{3}{36} + \frac{1}{36} + \frac{6}{36} \\[0.8em] &= \frac{10}{36} = \frac{5}{18}\end{align*}\]

  

2. Lösungsansatz: Ziehen mit einem Griff (1-stufiges Zufallsexperiment)

 

Da die Reihenfolge der entnommenen Bausteine keine Rolle spielt, macht es keinen Unterschied, ob diese nacheinander einzeln ohne Zurücklegen oder beide zusammen mit einem Griff entnommen werden werden.

 

Die Kiste enthält insgesamt \(4 + 2 + 3 = 9\) Bausteine.

Betrachtet werden die Ereignisse \(\{R,R\}\) (zweimal Rot), \(\{G,G\}\) (zweimal Grün) und \(\{B,B\}\) (zweimal Blau).

Urnenmodell: „Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge"

Urnenmodell: „Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge"

Werden aus einer Urne mit \(N\) Kugeln, von denen \(K\) Kugeln schwarz sind, \(n\) Kugeln mit einem Griff, d.h. ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge gezogen, so gilt für die Wahrscheinlichkeit, genau \(k\) schwarze Kugeln zu ziehen:

\[P(\text{„genau}\,k\,\text{schwarze Kugeln"}) = \frac{\displaystyle \binom{K}{k} \cdot \binom{N - K}{n - k}}{\displaystyle \binom{N}{n}}\]

(vgl. Merkhilfe)

\[\begin{align*}P(\text{gleiche Farbe}) &= P(\{R,R\}) + P(\{G,G\}) + P(\{B,B\}) \\[0.8em] &= \frac{\displaystyle \binom{4}{2} \cdot \binom{5}{0}}{\displaystyle \binom{9}{2}} + \frac{\displaystyle \binom{2}{2} \cdot \binom{7}{0}}{\displaystyle \binom{9}{2}} + \frac{\displaystyle \binom{3}{2} \cdot \binom{6}{0}}{\displaystyle \binom{9}{2}} & &|\; \text{siehe Nebenrechnung} \\[0.8em] &= \frac{6}{36} + \frac{1}{36} + \frac{3}{36} \\[0.8em] &= \frac{10}{36} = \frac{5}{18}\end{align*}\]

 

Nebenrechnung:

Da der Prüfungsteil A keine Hilfsmittel erlaubt, seien abschließend noch die Berechnungen der Binomialkoeffizienten ohne Taschenrechner aufgeführt. 

Binomialkoeffizient

Binomialkoeffizient

Der Binomialkoeffizient gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus einer Menge mit \(n\) Elementen eine Teilmenge mit \(k\) Elementen zu bilden.

\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} = \frac{n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot (n - k + 1)}{k!}\]

(vgl. Merkhilfe)

\[\binom{4}{2} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{1 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2} = 6\]

\[\binom{5}{0} = \frac{5!}{0! \cdot 5!} = 1\]

\[\binom{2}{2} = \frac{2!}{2! \cdot 0!} = 1\]

\[\binom{7}{0} = \frac{7!}{0! \cdot 7!} = 1\]

\[\binom{3}{2} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{1 \cdot 2 \cdot 1} = 3\]

\[\binom{6}{0} = \frac{6!}{0! \cdot 6!} = 1\]

\[\binom{9}{2} = \frac{9!}{2! \cdot 7!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9}{1 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7} = \frac{8 \cdot 9}{1 \cdot 2} = \frac{72}{2} = 36\]

 

Anmerkung:

\[\binom{n}{0} = 1\,; \quad \binom{n}{k = n} = 1\,; \quad \binom{n}{k = n - 1} = n\,;\]