Die Zufallsgröße \(X\) ordnet jedem Ergebnis die Anzahl der entsprechenden Münzwürfe zu. Berechnen Sie den Erwartungswert von \(X\).
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1b
Wahrscheinlichkeitsverteilung und Erwartungswert einer Zufallsgröße
Zufallsgröße \(X\): Anzahl der Münzwürfe
Aus Teilaufgabe 2a ist bekannt:
\[P(\{ZZ\}) = P(\{WW\}) = 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25\]
\[\begin{align*}P(\{ZWZ\}) &= P(\{ZWW\}) = P(\{WZZ\}) = P(\{WZW\}) \\[0.8em] &= 0{,}125\end{align*}\]
Die Zufallsgröße \(X\) kann die Werte \(x_{1} = 2\) (zwei Münzwürfe) und \(x_{2} = 3\) (drei Münzwürfe) annehmen (vgl. Baumdiagramm Teilaufgabe 2a).
Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\):
\[P(X = 2) = P(\{ZZ\}) + P(\{WW\}) = 0{,}25 + 0{,}25 = 0{,}5\]
\[\begin{align*}P(X = 3) &= P(\{ZWZ\}) + P(\{ZWW\}) + P(\{WZZ\}) + P(\{WZW\}) \\[0.8em] &= 0{,}125 + 0{,}125 + 0{,}125 + 0{,}125 \\[0.8em] &= 0{,}5\end{align*}\]
| \(X = x_{i}\) | \(2\) | \(3\) |
| \(P(X = x_{i})\) | \(0{,}5\) | \(0{,}5\) |
Verteilungstabelle der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße \(X\)
Erwartungswert der Zufallsgröße \(X\) berechnen:
Ist \(X\) eine Zufallsgröße, deren mögliche Werte \(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}\) sind, dann gilt:
Erwartungswert \(\boldsymbol{\mu}\) einer Zufallsgröße \(\boldsymbol{X}\)
\[\begin{align*}\mu = E(X) &= \sum \limits_{i = 1}^{n} x_{i} \cdot P(X = x_i) \\[0.8em] &= x_{1} \cdot P(X = x_1) + x_{2} \cdot P(X = x_2) + \cdots + x_{n} \cdot P(X = x_n) \end{align*}\]
Der Erwartungswert \(\mu = E(X)\) gibt den Mittelwert einer Zufallsgröße \(X\) pro Versuch an, der bei sehr häufiger Durchführung eines Zufallsexperiments (auf lange Sicht) zu erwarten ist.
\[\begin{align*}E(X) &= x_{1} \cdot P(X = x_{1}) + x_{2} \cdot P(X = x_{2}) \\[0.8em] &= 2 \cdot 0{,}5 + 3 \cdot 0{,}5 \\[0.8em] &= 2{,}5 \end{align*}\]
