Bestimmen Sie die \(x\)-Koordinate von \(W_{k}\) in Abhängigkeit von \(k\).
(zur Kontrolle: \(x = -\frac{1}{k} - 1\))
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 3b
\[g_{k}(x) = kx^{3} + 3 \cdot (k + 1)x^{2} + 9x; \; k \in \mathbb R \backslash \{0\}\]
Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt \(W_{k}\) des Graphen \(G_{k}\) lautet:
Anwendung der Differetialrechnung:
Wendepunkt
Ist \(f''(x_0) = 0\) und wechselt \(f''\) an der Stelle \(x_0\) das Vorzeichen, so hat \(G_f\) an der Stelle \(x_0\) einen Wendepunkt.
(vgl. Merkhilfe)
Alternative:
Es muss \(f''(x_{0}) = 0\) und \(f'''(x_{0}) \neq 0\) gelten.
\[g''_{k}(x) = 0\]
Erste Ableitung \(g'_{k}\) und zweite Ableitung \(g''_{k}\) bilden:
Hierfür wird die Ableitung einer Potenzfunktion sowie die Summen- und die Faktorregel benötigt.
\[g_{k}(x) = kx^{3} + 3 \cdot (k + 1)x^{2} + 9x\]
Ableitungen der Grundfunktionen
\[c' = 0 \enspace (c \in \mathbb R)\]
\[\left( x^r \right)' = r \cdot x^{r - 1} \enspace (r \in \mathbb R)\]
\[\left( \sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]
\[\left( \sin{x} \right)' = \cos{x}\]
\[\left( \cos{x} \right)' = -\sin{x}\]
\[\left( \ln{x} \right)' = \frac{1}{x}\]
\[\left( \log_{a}{x}\right)' = \frac{1}{x \cdot \ln{a}}\]
\[\left( e^x \right)' = e^x\]
\[\left(a^x \right)' = a^x \cdot \ln{a}\]
vgl. Merkhilfe
Faktorregel
\[\begin{align*}f(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u(x)} \\[0.8em] f'(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u'(x)}\end{align*}\]
Summenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} + \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} + \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
Produktregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} + \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
Quotientenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u(x)}}{\textcolor{#cc071e}{v(x)}} \\[0.8em] f'(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} - \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}}{[\textcolor{#cc071e}{v(x)}]^{2}}\end{align*}\]
Kettenregel
\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]
vgl. Merkhilfe
\[\begin{align*}g'_{k}(x) &= k \cdot 3x^{2} + 3 \cdot (k + 1) \cdot 2x + 9 \\[0.8em] &= 3kx^{2} + 6 \cdot (k + 1)x + 9 \end{align*}\]
\[\begin{align*}g''_{k}(x) &= 3k \cdot 2x + 6 \cdot (k + 1) \\[0.8em] &= 6kx + 6 \cdot (k + 1) \\[0.8em] &= 6 \cdot (kx + k + 1) \end{align*}\]
Nullstelle von \(g''_{k}(x)\) in Abhängigkeit von \(k\) berechnen:
\[\begin{align*}g''_{k} = 0 \quad \Longrightarrow \quad kx + k + 1 &= 0 &&| - 1 - k \\[0.8em] kx &= - 1 - k &&| : k \\[0.8em] x &= - \frac{1}{k} - 1 \end{align*}\]
Da zudem \(g'''_{k}(x) = 6k \neq 0\) gilt, ist \(x = -\dfrac{1}{k} - 1\) für jedes \(k \in \mathbb R \backslash \{0\}\) eine Wendestelle.