Begründen Sie, dass der Wert des Integrals \(\displaystyle \int_{-k}^k f(x)dx\) für jede positive reelle Zahl \(k\) ohne Verwendung einer Stammfunktion von \(f\) exakt bestimmt werden kann, und geben Sie den Wert des Integrals an.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1f

 

Fläche, die der Graph von f im Intervall [-k;k] mit der x-Achse einschließt sowie Flächen, die der Graph von f in den Intervallen [-k;0] bzw. [0;k] mit der Gerade mit der Gleichung y = 2 einschließt

Da der Graph von \(f\) punktsymmetrisch zu seinem Wendepunkt \((0|2)\) ist (vgl. Angabe Aufgabe 1), haben die beiden Flächen, die \(G_f\) und die Gerade mit der Gleichung \(y=2\) in den Intervallen \([-k;0]\) bzw. \([0;k]\) einschließen, den gleichen Inhalt. Damit entspricht der Wert des Integrals \(\displaystyle \textcolor{#0087c1}{\int_{-k}^k f(x)dx}\) dem Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen \(2k\) und \(2\).

 

\[\textcolor{#0087c1}{\int_{-k}^k f(x)dx} = 2k \cdot 2 = \textcolor{#0087c1}{4k}\]