Untersuchen Sie rechnerisch das Monotonieverhalten von \(G_{f}\).

(zur Kontrolle: \(f'(x) = \dfrac{4x}{(x^{2} + 1)^{2}}\))

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1b

Nach dem Monotoniekriterium lässt sich das Monotonieverhalten von \(G_{f}\) mithilfe der ersten Ableitung \(f'\) beurteilen.

Monotoniekriterium

Anwendung der Differetialrechnung:

Monotoniekriterium

\(f'(x) < 0\) im Intervall \( I \enspace \Rightarrow \enspace G_{f}\) fällt streng monoton in \(I\)

\(f'(x) > 0\) im Intervall \( I \enspace \Rightarrow \enspace G_{f}\) steigt streng monoton in \(I\)

(vgl. Merkhilfe)

Erste Ableitung \(f'\) bilden:

Hierfür wird die Quotientenregel, die Summenregel sowie die Ableitung einer Potenzfunktion benötigt.

 

\[f(x) = \frac{\textcolor{#0087c1}{x^{2} - 1}}{\textcolor{#cc071e}{x^{2} + 1}}; \; D_{f} = \mathbb R\]

Erste Ableitung elementarer Funktionen und Ableitungsregeln

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Ableitungen der Grundfunktionen

\[c' = 0 \enspace (c \in \mathbb R)\]

\[\left( x^r \right)' = r \cdot x^{r - 1} \enspace (r \in \mathbb R)\]

\[\left( \sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]

\[\left( \sin{x} \right)' = \cos{x}\]

\[\left( \cos{x} \right)' = -\sin{x}\]

 

\[\left( \ln{x} \right)' = \frac{1}{x}\]

\[\left( \log_{a}{x}\right)' = \frac{1}{x \cdot \ln{a}}\]

\[\left( e^x \right)' = e^x\]

\[\left(a^x \right)' = a^x \cdot \ln{a}\]

vgl. Merkhilfe

Faktorregel

\[\begin{align*}f(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u(x)} \\[0.8em] f'(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u'(x)}\end{align*}\]

Summenregel

\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} + \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} + \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]

Produktregel

\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} + \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]

 

Quotientenregel

\[\begin{align*}f(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u(x)}}{\textcolor{#cc071e}{v(x)}} \\[0.8em] f'(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} - \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}}{[\textcolor{#cc071e}{v(x)}]^{2}}\end{align*}\]

Kettenregel

\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]

vgl. Merkhilfe

\[\begin{align*} f'(x) &= \frac{{(\textcolor{#0087c1}{2x - 0})} \cdot (\textcolor{#cc071e}{x^{2} + 1}) - (\textcolor{#0087c1}{x^{2} - 1}) \cdot (\textcolor{#cc071e}{2x + 0})}{(\textcolor{#cc071e}{x^{2} + 1})^{2}} \\[0.8em] &= \frac{2x \cdot [x^{2} + 1 - (x^{2} - 1)]}{(x^{2} + 1)^{2}} \\[0.8em] &= \frac{2x \cdot (x^{2} + 1 - x^{2} + 1)}{(x^{2} + 1)^{2}} \\[0.8em] &= \frac{2x \cdot 2}{(x^{2} + 1)^{2}} \\[0.8em] &= \frac{4x}{\underbrace{(x^{2} + 1)^{2}}_{>\,0}} \end{align*}\]

 

Der Zählerterm \(4x\) bestimmt den Vorzeichenwechsel von \(f'\). Es gilt:

Monotoniekriterium

Anwendung der Differetialrechnung:

Monotoniekriterium

\(f'(x) < 0\) im Intervall \( I \enspace \Rightarrow \enspace G_{f}\) fällt streng monoton in \(I\)

\(f'(x) > 0\) im Intervall \( I \enspace \Rightarrow \enspace G_{f}\) steigt streng monoton in \(I\)

(vgl. Merkhilfe)

\(f'(x) < 0\) für \(4x < 0 \Leftrightarrow x < 0\)

\(\Longrightarrow \quad G_{f}\) ist für \(x < 0\) streng monoton fallend.

 

\(f'(x) > 0\) für \(4x > 0 \Leftrightarrow x > 0\)

\(\Longrightarrow \quad G_{f}\) ist für \(x > 0\) streng monoton steigend.