Abiturlösungen Mathematik Bayern 2013

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Folgende Tabelle gibt die Verteilung der Blutgruppen und der Rhesusfaktoren innerhalb der Bevölkerung Deutschlands wieder:

Tabelle: Verteilung der Blutgruppen und Rhesusfaktoren

In einem Krankenhaus spenden an einem Vormittag 25 Personen Blut. Im Folgenden soll angenommen werden, dass diese 25 Personen eine zufällige Auswahl aus der Bevölkerung darstellen. 

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau zehn der Spender die Blutgruppe \(A\) haben.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1a

 

Binomialverteilung

Binomialverteilte Zufallsgröße - Binomialverteilung

Binomialverteilte Zufallsgröße

Für eine Zufallsgröße \(X\), welche bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, gilt:

Binomialverteilung (vgl. Merkhilfe)

\[P_{p}^{n}(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \quad (0 \leq k \leq n)\]

Eine Binomialverteilung ist durch die Parameter \(n\) und \(p\) eindeutig bestimmt und wird durch das Symbol \(B(n:p)\) gekennzeichnet. \(X\) heißt binomialverteilt nach \(B(n;p)\).

Voraussetzung für eine Binomialverteilung

Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können (Bernoulli-Experiment).

Zufallsgröße \(X \colon \enspace\)„Anzahl der Spender, die Blutgruppe \(A\) haben"

 

Analyse der Angabe:

 

„...spenden an einem Vormittag 25 Personen Blut."

\(\Longrightarrow \quad n = 25\)

 

„Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau zehn der Spender..."

\(\Longrightarrow \quad X = 10\)

 

„...die Blutgruppe \(A\) haben."

\(\Longrightarrow \quad p = P(A)\)

 

Wahrscheinlichkeit \(P(A)\) bestimmen:

 

Der Tabelle entnimmt man:

\[P(A \cap Rh+) = 37\,\%\]

\[P(A \cap RH-) = 6\,\%\]

 

\[P(A) = P(A \cap Rh+) + P(A \cap Rh-) = 0{,}37 + 0{,}06 = 0{,}43\]

 

Die Zufallsgröße \(X\) ist nach \(B(25; 0{,}43)\) binomialverteilt.

Das Stochastische Tafelwerk mit Abiturzulassung beinhaltet keine Binomialverteilung für eine Trefferwahrscheinlichkeit \(p = 0{,}43\). Die Wahrscheinlichkeit \(P_{0{,}43}^{25}(X = 10)\) muss errechnet werden.

 

Anwenden der Formel von Bernoulli:

Formel von Bernoulli

Formel von Bernoulli

Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer bei einer Bernoullikette der Länge \(n\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) für das Eintreten eines betrachteten Ereignisses:

\[P(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}\]

\[k \in \{0,1,\dots,n\}\]

\[\begin{align*} P_{0{,}43}^{25}(X = 10) &= B(25; 0{,}43; 10) \\[0.8em] &= \binom{25}{10} \cdot 0{,}43^{10} \cdot (1 - 0{,}43)^{25 - 10} \\[0.8em] &= \binom{25}{10} \cdot 0{,}43^{10} \cdot 0{,}57^{15} \\[0.8em] &\approx 0{,}154 = 15{,}4\,\% \end{align*}\]

 

Wahrscheinlichkeitsverteilung der nach B(25;0,43) binomialverteilten Zufallsgröße X, Wahrscheinlichkeit B(25;0,43;10)

Wahrscheinlichkeitsverteilung der nach \(B(25;0{,}43)\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\), Wahrscheinlichkeit \(P_{0{,}43}^{25}(X = 10) = B(25;0{,}43;10)\)

2.3.1 Lagebeziehung von Geraden

2.3.1 Lagebeziehung von Geraden
2.3.1 Lagebeziehung von Geraden