Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x) = \dfrac{(3 + x)^{2}}{x - 1}\) und maximalem Definitionsbereich \(D\). Der Graph von \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.
Geben Sie \(D\) und die Koordinaten der Schnittpunkte von \(G_{f}\) mit den Koordinatenachsen an.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1a
Maximaler Definitionsbereich einer gebrochenrationalen Funktion, Schnittpunkte eines Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen
Anmerkung:
Der maximale Definitionsbereich \(D\) sowie die Schnittpunkte von \(G_{f}\) mit den Koordinatenachsen sind lediglich anzugeben. Jede Erklärung oder Rechnung kann entfallen.
\[f(x) = \frac{(3 + x)^{2}}{x - 1}\]
Maximaler Definitionsbereich \(D\) der Funktion \(f\)
Da die Division durch Null in der Mathematik nicht erlaubt ist, besitzt die gebrochenrationale Funktion \(f\) an der Nennernullstelle \(x = 1\) eine Definitionslücke.
\[\Longrightarrow \quad D = \mathbb R \backslash \{1\}\]
Schnittpunkte von \(G_{f}\) mit den Koordinatenachsen
Schnittpunkt(e) von \(G_{f}\) mit der \(x\)-Achse:
Für die Berechnung der Schnittstelle(n) des Graphen der Funktion \(f\) mit der \(x\)-Achse (Nullstelle) wird der Funktionsterm \(f(x)\) gleich Null gesetzt.
\[f(x) = \frac{(3 + x)^{2}}{x - 1}; \; D = \mathbb R \backslash \{1\}\]
\[\begin{align*}f(x) &= 0 \\[0.8em] \frac{(3 + x)^{2}}{x - 1} &= 0 \end{align*}\]
Die Nullstellen der gebrochenrationalen Funktion \(f\) sind alle Nullstellen des Zählers \((3 + x)^2\), welche nicht zugleich Nullstellen des Nenners sein dürfen (vgl. Anmerkung)
Nullstelle(n) einer Funktion bestimmen
Eine Nullstelle ist die \(x\)-Koordinate eines gemeinsamen Punktes des Graphen einer Funktion \(x \mapsto f(x)\) mit der \(x\)-Achse. An einer Nullstelle gilt: \(f(x) = 0\).
Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann null, wenn einer der Faktoren null ist.
\(f(x) \cdot g(x) = 0 \enspace \Rightarrow \enspace f(x) = 0\) oder \(g(x) = 0\)
Ein Quotient von Funktionen ist genau dann null, wenn die Zählerfunktion null ist.
\(\dfrac{f(x)}{g(x)} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace f(x) = 0\; (g(x) \neq 0)\)
Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Mitternachtsformel, vgl. Merkhilfe)
\[\textcolor{#cc071e}{a}x^2 + \textcolor{#0087c1}{b}x + \textcolor{#e9b509}{c} = 0 \enspace \Leftrightarrow \enspace x_{1,2} = \frac{-\textcolor{#0087c1}{b} \pm \sqrt{\textcolor{#0087c1}{b}^2 - 4\textcolor{#cc071e}{a}\textcolor{#e9b509}{c}}}{2\textcolor{#cc071e}{a}}\]
Diskriminante \(D = b^2 -4ac \;\):
\(D < 0\,\): keine Lösung
\(D = 0\,\): genau eine Lösung
\(D > 0\,\): zwei verschiedene Lösungen
Folgende Fälle lassen sich einfacher durch Umformung lösen:
\[\begin{align*}\textcolor{#cc071e}{a}x^2 + \textcolor{#0087c1}{b}x &= 0 &&| \; x\; \text{ausklammern (Produkt formulieren)} \\[0.8em] x \cdot (ax + b) &= 0 \\[0.8em] \Rightarrow \enspace x = 0 \vee ax + b &= 0 \end{align*}\]
\[\begin{align*}\textcolor{#cc071e}{a}x^2 + \textcolor{#e9b509}{c} &= 0 &&| -c \enspace (c \neq 0) \\[0.8em] ax^2 &= -c &&| : a \\[0.8em] x^2 &= -\frac{c}{a} &&| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] x_{1,2} &= \pm \sqrt{-\frac{c}{a}} \end{align*}\]
Zwei Lösungen, falls \(-\dfrac{c}{a} > 0\), keine Lösung, falls \(-\dfrac{c}{a} < 0\)
Vorgehensweise für die Bestimmung der Nullstelle(n) einer ganzrationalen Funktion ab Grad 3:
vgl. Abiturskript - 1.1.3 Ganzrationale Funktion, Nullstellen
Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion \(f(x) = \dfrac{\textcolor{#0087c1}{z(x)}}{n(x)}\) sind alle Nullstellen des Zählerpolynoms \(\textcolor{#0087c1}{z(x)}\), die nicht zugleich Nullstellen des Nennerpolynoms \(\boldsymbol{n(x)}\) sind.
Ist \(x_0\) eine Nullstelle des Zählerpolynoms \(\boldsymbol{z(x)}\) und zugleich eine vollständig kürzbare Nullstelle des Nennerpolynoms \(\boldsymbol{n(x)}\), so besitzt die gebrochenrationale Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\) eine hebbare Definitionslücke.
(vgl. Abiturskript - 1.2.1 Gebrochenrationale Funktion, Nullstellen und Polstellen)
Eine Wurzelfunktion \(f(x) = \sqrt{\textcolor{#cc071e}{g(x)}}\) nimmt genau dann den Wert null an, wenn der Radikand (Term unter der Wurzel) null ist.
\[\sin{x} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace x = k \cdot \pi \; (k \in \mathbb Z)\]
\[\cos{x} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace x = \dfrac{\pi}{2} + k \cdot \pi \; (k \in \mathbb Z)\]
Die natürliche Logarithmusfunktion \(x \mapsto \ln{x}\) besitzt die einzige Nullstelle \(\boldsymbol{x = 1}\).
\[\ln{\left( \textcolor{#0087c1}{f(x)} \right)} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace \textcolor{#0087c1}{f(x) = 1}\]
Die natürliche Exponentialfunktion \(x \mapsto e^x\) sowie jede verkettete Funktion \(x \mapsto e^{f(x)}\) besitzt keine Nullstelle!
\[\begin{align*}\Longrightarrow \quad (3 + x)^{2} &= 0 & &| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] 3 + x &= 0 & &| - 3 \\[0.8em] x &= -3 \end{align*}\]
Der Graph \(G_{f}\) der Funktion \(f\) schneidet die \(x\)-Achse im Punkt \(N(-3|0)\).
Anmerkung:
Ist \(x_0\) eine Nullstelle der Zählerfunktion \(\boldsymbol{z(x)}\) und zugleich eine vollständig kürzbare Nullstelle der Nennerfunktion \(\boldsymbol{n(x)}\), so besitzt eine gebrochnrationale Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{z(x)}{n(x)}\) an der Stelle \(x_0\) eine hebbare Definitionslücke.
(vgl. Abiturskript - 1.2.1 Gebrochenrationale Funktion, Nullstellen und Polstellen)
Schnittpunkt von \(G_{f}\) mit der \(y\)-Achse:
Der Graph \(G_{f}\) der Funktion \(f\) schneidet die \(y\)-Achse im Punkt \(S_{y}(0|f(0))\). Es ist also der Funktionswert \(f(0)\) zu berechnen.
\[f(x) = \frac{(3 + x)^{2}}{x - 1}; \; D = \mathbb R \backslash \{1\}\]
\[f(0) = \frac{(3 + 0)^{2}}{0 - 1} = \frac{9}{-1} = -9\]
\[\Longrightarrow \quad S_{y}(0|-9)\]
