Bestimmen Sie denjenigen Wert \(x_{0}\), für den \(A(x_{0}) = 4\) gilt, und interpretieren sie Ihr Ergebnis im Sachzusammenhang.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2b
\[A(x) = \frac{8}{f(x)}; \; D_{A} = \mathbb R_{0}^{+}\]
\[f(x) = 1 + 7e^{-0{,}2x}; \; D_{f} = \mathbb R_{0}^{+}\]
Die Bedingung \(A(x_{0}) = 4\) führt zu einer Exponetialgleichung, die sich nach elementaren Umformungen durch Logarithmieren lösen lässt.
\[\begin{align*} A(x_{0}) &= 4 \\[0.8em] \frac{8}{1 + 7e^{-0{,}2x_{0}}} &= 4 &&| \cdot \left( 1 + 7e^{-0{,}2x_{0}} \right) \\[0.8em] 8 &= 4 \cdot \left( 1 + 7e^{-0{,}2x_{0}} \right) &&| : 4 \\[0.8em] 2 &= 1 + 7e^{-0{,}2x_{0}} &&| - 1 \\[0.8em] 1 &= 7e^{-0{,}2x_{0}} &&| : 7 \\[0.8em] \frac{1}{7} &= e^{-0{,}2x_{0}} &&| \, \ln{(\dots)} \; \text{(Logarithmieren)} \\[0.8em] \ln{\left( \frac{1}{7} \right)} &= \ln{\left( e^{-0{,}2x_{0}} \right)} &&| \, \ln{\left( e^{x} \right)} = x \; \left(\text{allg.:} \; \log_{a}{\left( a^{x} \right)} = x \right) \\[0.8em] \ln{\left( \frac{1}{7} \right)} &= -0{,}2x_{0} &&| \cdot (-5) \\[0.8em] -5\ln{\left( \frac{1}{7} \right)} &= x_{0} \\[0.8em] x_{0} &\approx 9{,}7 \end{align*}\]
Interpretation des Ergebnisses im Sachzusammenhang:
Ungefähr 9,7 Tage nach Beobachtungsbeginn beträgt der Flächeninhalt des Algenteppichs am Südufer des Sees 4 m².
