Prüfungsteil B

Eine in \(\mathbb R\) definierte ganzrationale Funktion \(g\) hat die folgenden Eigenschaften:

• \(t\) ist Tangente an den Graphen von \(g\) im Punkt \(\big(\frac{9}{4} \big| 0\big)\).
• Der Graph von \(g\) verläuft für \(0 < x < \frac{9}{4}\) oberhalb von \(t\).

Geben Sie einen möglichen Term von \(g\) an.

(3 BE)

Die Bigband einer Schule nimmt anlässlich des 50-jährigen Jubiläums der Schule eine CD mit zehn Musikstücken auf; vier dieser Stücke sind kurz, sechs lang. Diese CD wird in großer Anzahl hergestellt.

Bei der Jubiläumsfeier werden von einer dieser CDs in zufälliger Reihenfolge Stücke abgespielt, wobei jedes Stück mehrfach abgespielt werden kann.

Berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter zwölf abgespielten Stücken

• genau fünf lange Stücke befinden.
• mehr lange als kurze Stücke befinden.

(4 BE)

(2 BE)

(3 BE)

Der durch das Trapez \(ABCD\) beschriebene Hang wird auf seiner gesamten Fläche für den Weinanbau genutzt. Berechnen Sie den Inhalt der Weinanbaufläche des Hangs in Hektar und untersuchen Sie mithilfe der folgenden Tabelle, um welche Art von Weinanbaulage es sich handelt.

(5 BE)

Es gibt Werte von \(b\), für die die Bigband bei vielfacher Durchführung des Spiels im Mittel pro CD die gleichen Einnahmen erwarten könnte wie beim Verkauf der CD. Geben Sie eine Gleichung an, mit der diese Werte von \(b\) berechnet werden könnten.

(3 BE)

Als die CDs vor der Jubiläumsfeier geliefert wurden, entdeckten die Mitarbeiter der Bigband unter den ersten 20 betrachteten CDs ein Exemplar mit fehlerhafter Hülle und befürchteten, dass mindestens 5 % aller Hüllen fehlerhaft sind. Sie planten deshalb, die Nullhypothese „Der Anteil der fehlerhaften Hüllen ist kleiner als 5 %." mithilfe einer Stichprobe von 150 CDs auf einem Signifikanzniveau von 10 % zu testen. Sollte das Ergebnis des Tests dafür sprechen, dass die Befürchtung zutrifft, wollten sie beim Hersteller einen Preisnachlass verlangen.

Begründen Sie, dass die Nullhypothese genau dann abgelehnt wird, wenn mindestens zwölf Hüllen fehlerhaft sind.

(3 BE)

Im Jahr 2020 wurden in Deutschland rund fünf Millionen Fahrräder verkauft. Dabei waren 40 % der verkauften Fahrräder Pedelecs (unterstützende Elektrofahrräder). Unter allen im Jahr 2020 verkauften Fahrrädern werden 200 zufällig ausgewählt. Die Zufallsgröße \(X\) beschreibt die Anzahl der Pedelecs unter den 200 zufällig ausgewählten Fahrrädern.

Bestimmen Sie \(P(70 \leq X \leq 90)\) und beschreiben Sie die Bedeutung des Terms im Sachzusammenhang.

(3 BE)

Beschreiben Sie das Ereignis \(\overline{E} \cap H\) im Sachzusammenhang und ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Person einen Helm trug, wenn bekannt ist, dass sie mit einem Fahrrad ohne Elektromotor unterwegs war.

(3 BE)

Der durchschnittliche Funktionswert einer Funktion \(h\) im Intervall \([a;b]\) kann mithilfe der folgenden Überlegung bestimmt werden:

Bestimmen Sie für den betrachteten Zeitraum von acht Monaten die prozentuale Abweichung des Maximums der CO₂-Konzentration von der durchschnittlichen CO₂-Konzentration.

(6 BE)

Innerhalb eines Jahres schwankt die CO₂-Konzentration. Für einen bestimmten Zeitraum von acht Monaten lassen sich die gemessenen Werte modellhaft durch die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(k \colon x \mapsto 3{,}3 \cdot \sin{\big( \frac{\pi}{6}x \big)} + 406\) beschreiben. Dabei ist \(x\) die in diesem Zeitraum vergangene Zeit in Monaten und \(k(x)\) die CO₂-Konzentration in ppm. Vereinfachend wird davon ausgegangen, dass jeder Monat 30 Tage hat.

Geben Sie an, wie der Graph von \(k\) schrittweise aus dem Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(s \colon x \mapsto \sin{(x)}\) hervorgeht. Beurteilen Sie, ob die Reihenfolge der einzelnen Schritte von Bedeutung ist.

(5 BE)

Berechnen Sie unter der Annahme, dass sich das exponentielle Wachstum nach 1985 in gleicher Weise fortgesetzt hat, den jährlichen Durchschnittswert für das Jahr 2010. Vergleichen Sie diesen Wert mit dem zugehörigen Wert aus der Tabelle und formulieren Sie das Ergebnis Ihres Vergleichs im Sachzusammenhang.

(3 BE)

In einer Messstation wird seit 1958 kontinuierlich die CO₂-Konzentration in der Luft gemessen, die in ppm (parts per million) angegeben wird. Die Tabelle gibt für die Jahre 1960, 1985 und 2010 jeweils den jährlichen Durchschnittswert der Messwerte an.

Die jährlichen Durchschnittswerte haben sich im Zeitraum von 1960 bis 1985 in guter Näherung exponentiell entwickelt. Ermitteln Sie die zugehörige Wachstumsrate in Prozent.

(zur Kontrolle: etwa 0,35 %)

(3 BE)

Die Funktionen \(f\) und \(g_{-0{,}25}\), die für die Modelle \(A\) bzw. \(B\) verwendet werden, stimmen im Bereich \(0 \leq x \leq 10\) nur für \(x = 0\) in ihren Funktionswerten überein. Zur Entwicklung weiterer Modelle sind in \([0;10]\) definierte Funktionen gesucht, deren Funktionswerte für \(x > 0\) zwischen den Funktionswerten von \(f\) und \(g_{-0{,}25}\) liegen. Geben Sie für zwei verschiedene solche Funktionen jeweils einen Funktionsterm an.

(4 BE)

Begründen Sie, dass auf der Grundlage von Modell \(A\) die Masse in Kilogramm, um die ein Hund der betrachteten Rasse in den ersten 25 Monaten nach seiner Geburt insgesamt zunimmt, mit dem Term \(\displaystyle \int_0^{10}f(x)dx + 13{,}5\) berechnet werden kann.

(3 BE)

Berechnen Sie auf der Grundlage von Modell \(A\), wie viele Monate nach der Geburt ein Hund der betrachteten Rasse erstmals nicht mehr an Körpermasse zunimmt.

(zur Kontrolle: 25 Monate)

(2 BE)

Junge Hunde wachsen in ihren ersten Lebensmonaten sehr schnell zu ausgewachsenen Hunden heran. Zur Beschreibung der Zunahme der Körpermasse eines Hundes einer bestimmten Rasse in den ersten 25 Lebensmonaten werden die folgenden beiden Modelle betrachtet:

• Für Modell \(A\) wird für \(0 \leq x \leq 10\) der Graph aus Aufgabe 1 und für \(10 \leq x \leq 25\) die Tangente \(t\) (vgl. Aufgabe 1d) verwendet.
• Für Modell \(B\) wird für \(0 \leq x \leq 25\) der Graph \(G\) der Funktion \(g_{-0{,}25}\) aus Aufgabe 2 genutzt.

In beiden Modellen steht die \(x\)-Koordinate des jeweiligen Punkts auf den Graphen bzw. der Tangente für die Zeit in Monaten, die seit der Geburt des Hundes vergangen sind, und seine \(y\)-Koordinate für die momentane Änderungsrate der Körpermasse des Hundes in Kilogramm pro Monat. Dabei wird vereinfachend davon ausgegangen, dass jeder Monat 30 Tage hat.

Formulieren Sie eine Aussage im Sachzusammenhang, die für beide Modelle für \(x = 4\) zutrifft.

(1 BE)

Betrachtet wird die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(g_k \colon x \mapsto 3x \cdot e^{kx}\) mit \(k \in \mathbb R \backslash \{0\}\). Der Graph jeder Funktion \(g_k\) der Schar hat genau einen Extrempunkt \(E_k\). Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G\) einer Funktion dieser Schar.

Abb. 2

Alle Extrempunkte \(E_k\) liegen auf der Gerade \(h\). Bestimmen Sie rechnerisch die Steigung von \(h\).

(5 BE)

Es gibt eine Stelle \(x_0 \in [0;10]\), an der die lokale Änderungsrate von \(f\) mit der mittleren Änderungsrate von \(f\) im Intervall \([0;10]\) übereinstimmt. Ermitteln Sie grafisch anhand von Abbildung 1 einen Näherungswert für \(x_0\).

(3 BE)