Ermitteln Sie unter der Voraussetzung, dass bei einem Versuch mit 400 Pflanzen der Wert der Zufallsgröße \(X_{400}\) um höchstens eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht, die kleinst- und die größtmögliche relative Häufigkeit der Pflanzen, die von Pilzen befallen werden.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1c
\[\mu = 400 \cdot 0{,}05 = 20\]
\[\sigma = \sqrt{400 \cdot 0{,}05 \cdot 0{,}95} \approx 4{,}4\]
\[\mu - \sigma = 15{,}6\]
\[\mu + \sigma = 24{,}4\]
\[\Rightarrow \enspace 16 \leq X_{400} \leq 24\]
Kleinstmögliche relative Häufigkeit: \(\dfrac{16}{400} = 0{,}04\)
Größtmögliche relative Häufigkeit: \(\dfrac{24}{400} = 0{,}06\)
Ausführliche Erklärung (nicht verlangt)
\(X_{400}\): Anzahl der Pflanzen, die von Pilzen befallen werden.
Die Zufallsgröße \(X_{400}\) ist nach \(B(\textcolor{#0087c1}{400};\textcolor{#cc071e}{0{,}05})\) binomialverteilt (vgl. Angabe Aufgabe 1).
„... unter der Voraussetzung, dass ... der Wert der Zufallsgröße \(X_{400}\) um höchstens eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht ..."
\(\Rightarrow \enspace \textcolor{#e9b509}{\mu - \sigma \leq} X_{400} \textcolor{#e9b509}{\leq \mu + \sigma}\) mit \(X_{400} \in \mathbb N\)
Zunächst werden die Intervallgrenzen \(\textcolor{#e9b509}{\mu - \sigma}\) und \(\textcolor{#e9b509}{\mu + \sigma}\) bestimmt.
\(\textcolor{#0087c1}{n = 400}\), \(\textcolor{#cc071e}{p = 0{,}05}\)
Erwartungswert \(\mu = E(X_{400})\) berechnen:
Erwartungswert \(\boldsymbol{\mu}\) einer binomialverteilten Zufallsgröße \(\boldsymbol{X}\)
\(\mu = E(X) = n \cdot p\) (vgl. Merkhilfe)
Wobei \(n\) die Länge der Bernoullikette und \(p\) die Trefferwahrscheinlichkeit für das Eintreten des betrachteten Ereignisses ist.
\[\mu = E(X_{400}) = \textcolor{#0087c1}{n} \cdot \textcolor{#cc071e}{p} = \textcolor{#0087c1}{400} \cdot \textcolor{#cc071e}{0{,}05} = 20\]
Standardabweichung von \(X_{400}\) berechnen:
Standardabweichung \(\boldsymbol{\sigma}\) einer binomialverteilten Zufallsgröße \(\boldsymbol{X}\)
\[\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}\]
Wobei \(n\) die Länge der Bernoullikette und \(p\) die Trefferwahrscheinlichkeit für das Eintreten des betrachteten Ereignisses ist. \(Var(X)\) bezeichnet die Varianz der Zufallsgröße \(X\).
\[\begin{align*}\sigma &= \sqrt{\textcolor{#0087c1}{n} \cdot \textcolor{#cc071e}{p} \cdot (1 - \textcolor{#cc071e}{p})} = \sqrt{\textcolor{#0087c1}{400} \cdot \textcolor{#cc071e}{0{,}05} \cdot (1 - \textcolor{#cc071e}{0{,}05})}\\[0.8em] &= \sqrt{19} \approx 4{,}4\end{align*}\]
Somit folgt:
\[\textcolor{#e9b509}{\mu - \sigma} = 20 - 4{,}4 = \textcolor{#e9b509}{15{,}6}\]
\[\textcolor{#e9b509}{\mu + \sigma} = 20 + 4{,}4 = \textcolor{#e9b509}{24{,}4}\]
Durch Auf- bzw. Abrunden \((X_{400} \in \mathbb N)\) ergibt sich die kleinst- und größtmögliche Anzahl der von Pilzen befallenen Pflanzen zu 16 und 24.
\[\Rightarrow \enspace 16 \leq X_{400} \leq 24\]
Kleinst- und größtmögliche relative Häufigkeit ermitteln:
Hierfür wird die kleinst- bzw. größtmögliche Anzahl der von Pilzen befallenen Pflanzen durch die 400 insgesamt untersuchten Pflanzen dividiert.
Relative Häufigkeit eines Ereignisses \(\boldsymbol{E}\)
\[h_{n}(E) = \frac{H_{n}(E)}{n}\]
\(H_{n}(E)\): Anzahl mit der das Ereignis \(E\) entritt (absolute Häufigkeit)
\(n\): Anzahl der Durchführungen des Zufallsexperiments.
Kleinstmögliche relative Häufigkeit: \(\dfrac{16}{400} = 0{,}04 = 4\,\%\)
Größtmögliche relative Häufigkeit: \(\dfrac{24}{400} = 0{,}06 = 6\,\%\)
