Begründen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich drei verschiedene Motive auf den Ansteckern befinden, den Wert \(\dfrac{(n - 1) \cdot (n - 2)}{n^{2}}\) hat.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 4b

 

\(\textcolor{#0087c1}{n}\) verschiedene Motive

3 Anstecker

 

Da „jedes Motiv die gleiche Wahrscheinlichkeit hat" (vgl. Angabe Aufgabe 4) stellt das Bedrucken eines Ansteckers mit einem zufällig ausgewählten Motiv ein Laplace-Experiment dar.

Grundformeln der Kombinatorik

Grundformeln der Kombinatorik

Viele mehrstufige Zufallsexperimente können mithilfe sogenannter Urnenmodelle veranschaulicht werden. Aus einer Urne mit \(\boldsymbol{n}\) unterscheidbaren Kugeln wird \(\boldsymbol{k}\)-mal eine Kugel gezogen.

Die Modelle lassen sich in die Fälle mit/ohne Zurücklegen bzw. mit/ohne Beachtung der Reihenfolge der gezogenen Kugeln unterteilen.

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\[n^{k}\]

\(n\): Anzahl der Unterscheidungsmerkmale

\(k\): Anzahl der Wiederholungen

 

Beispiel:

Wieviele Möglichkeiten gibt es, vier Wände eines Kinderzimmers in den Farben Seesternorange, Frochschgrün, Libellenblau, Käferrot oder Bienengelb zu streichen?

\(\textcolor{#cc071e}{n = 5}\), da fünf verschiedene Farben zur Verfügung stehen.

\(\textcolor{#0087c1}{k = 4}\), da viermal eine Farbe zu wählen ist.

Somit \(\textcolor{#cc071e}{5}^{\textcolor{#0087c1}{4}} = 625\) Möglichkeiten

- nicht abiturrelevant -

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\(n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot (n - k + 1)\)

Spezialfall: \(n!\) für \(k = n\) (Permutationen)

\(n\): Anzahl der Unterscheidungsmerkmale

\(k\): Anzahl der Wiederholungen

 

Beispiel:

Wieviele Möglichkeiten gibt es, vier Wände eines Kinderzimmers in den Farben Seesternorange, Frochschgrün, Libellenblau, Käferrot oder Bienengelb zu streichen, wenn jede Wand eine andere Farbe bekommen soll?

\(\textcolor{#cc071e}{n = 5}\), da fünf verschiedene Farben zur Verfügung stehen.

\(\textcolor{#0087c1}{k = 4}\), da viermal eine Farbe zu wählen ist.

Für die erste Wand stehen fünf Farben zur Auswahl, für die zweite Wand noch vier Farben, für die dritte Wand noch drei Farben und für die vierte Wand schließlich nur noch zwei Farben.

Somit \(\underbrace{\textcolor{#cc071e}{5} \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}_{\textcolor{#0087c1}{k\,=\,4}} = 120\) Möglichkeiten

\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} = \frac{n \cdot (n - 1) \cdot ... \cdot (n - k + 1)}{k!}\]

(entspricht „Ziehen mit einem Griff")

 

Der Binomialkoeffizient \(\displaystyle \binom{n}{k}\) gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, aus einer Menge mit \(n\) Elementen eine Teilmenge mit \(k\) Elementen zu bilden (vgl. Merkhilfe).

 

Beispiel:

Von 30 Schüler*innen können acht Schüler*innen an einer Studienfahrt teilnehmen. Die Teilnehmer*innen werden per Los entschieden. Wieviele mögliche Gruppierungen gibt es?

\(n = 30\)

\(k = 8\)

Somit \(\displaystyle \binom{30}{8} = 5852925\) mögliche Gruppen aus jeweils acht Schüler*innen.

Es gibt insgesamt \(\textcolor{#0087c1}{n}^{\textcolor{#e9b509}{3}}\) Möglichkeiten, 3 Anstecker mit einem von \(\textcolor{#0087c1}{n}\) verschiedenen Motiven zu bedrucken.

Es gibt \(\textcolor{#0087c1}{n}\) Möglichkeiten, den ersten Anstecker mit einem von \(\textcolor{#0087c1}{n}\) verschiedenen Motiven zu bedrucken. Es gibt \(\textcolor{#0087c1}{n - 1}\) Möglichkeiten, den zweiten Anstecker mit einem anderen Motiv zu bedrucken. Und schließlich gibt es \(\textcolor{#0087c1}{n - 2}\) Möglichkeiten, den dritten Anstecker wiederum mit einem anderen Motiv zu bedrucken.

Allgemeines Zählprinzip

Allgemeines Zählprinzip

Wird ein Zufallsexperiment in \(k\) Stufen durchgeführt und gibt es in der ersten Stufe \(n_{1}\), in der zweiten Stufe \(n_{2}\) und in der \(k\)-ten Stufe \(n_{k}\) mögliche Ergebnisse, so gilt für die Anzahl \(N\) der insgesamt möglichen Ergebnisse:

\[N = n_{1} \cdot n_{2} \cdot … \cdot n_{k}\]

Nach dem allgemeinen Zählprinzip gibt es somit \(\textcolor{#0087c1}{n} \cdot \textcolor{#0087c1}{(n - 1)} \cdot \textcolor{#0087c1}{(n - 2)}\) Möglichkeiten, die drei Anstecker mit verschiedenen Motiven zu bedrucken.

Somit ergibt sich:

Laplace-Wahrscheinlichkeit

Laplace-Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses \(A\)

\[P(A) = \frac{\vert A \vert}{\vert \Omega \vert} = \frac{\text{Anzahl der für} \; A \; \text{günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}}\]

Voraussetzung: Alle Ergebnisse (alle Versuchsausgänge) des betrachteten Zufallsexperiments sind gleichwahrscheinlich (Laplace-Experiment).

\[\begin{align*} P(\text{„Drei verschiedene Motive"}) &= \frac{\textcolor{#0087c1}{n} \cdot \textcolor{#0087c1}{(n - 1)} \cdot \textcolor{#0087c1}{(n - 2)}}{\textcolor{#0087c1}{n}^{\textcolor{#e9b509}{3}}} \\[0.8em] &= \frac{(n - 1) \cdot (n - 2)}{n^{2}}\end{align*}\]