Die Ebene \(E\) hat die Gleichung \(2x_1 + x_2 + x_3 = 6\). Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den \(E\) mit der \(x_1x_2\)-Ebene einschließt.
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe c
Der Winkel \(\varphi\), den die Ebene \(\textcolor{#0087c1}{E}\) mit der \(x_1x_2\)-Ebene einschließt, entspricht dem Winkel, den die Normalenvektoren einschließen (ergänzende schematisch Darstellung)
Schnittwinkel \(\boldsymbol{\varphi}\) zwischen zwei Geraden
\[\begin{align*}\cos{\varphi} &= \frac{\vert \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{u}} \circ \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{v}} \vert}{\vert \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{u}} \vert \cdot \vert \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{v}} \vert} = \cdots \quad(0^{\circ} \leq \varphi \leq 90^{\circ}) \\[0.8em] \varphi &= \cos^{-1}(\cdots)\end{align*}\]
Der Schnittwinkel ist der spitze Winkel \((0^{\circ} < \varphi < 90^{\circ})\), den die Geraden \(\textcolor{#cc071e}{g}\) und \(\textcolor{#0087c1}{h}\) einschließen. Dieser ergibt sich für \(\cos{\varphi} \in \; ]0;1[\). Deshalb wird bei der Schnittwinkelberechnung der Betrag des Skalarprodukts \(\textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{u}} \circ \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{v}}\) gewählt.
Schnittwinkel \(\boldsymbol{\varphi}\) zwischen Gerade und Ebene
\[\cos{(90^{\circ} - \varphi)} = \frac{\vert \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{u}} \circ \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{n}} \vert}{\vert \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{u}} \vert \cdot \vert \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{n}} \vert}\]
Mit \(\cos{(90^{\circ}-\varphi)} = \sin{\varphi}\) folgt:
\[\begin{align*}\sin{\varphi} &= \frac{\vert \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{u}} \circ \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{n}} \vert}{\vert \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{u}} \vert \cdot \vert \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{n}} \vert} = \cdots \quad(0^{\circ} \leq \varphi \leq 90^{\circ}) \\[0.8em] \varphi &= \sin^{-1}(\cdots)\end{align*}\]
\[\begin{align*}\cos{\varphi} &= \frac{\vert \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{n}_E} \circ \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{n}_F} \vert}{\vert \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{n}_E} \vert \cdot \vert \textcolor{#cc071e}{\overrightarrow{n}_F} \vert} = \cdots \quad(0^{\circ} \leq \varphi \leq 90^{\circ}) \\[0.8em] \varphi &= \cos^{-1}(\cdots)\end{align*}\]
\(\overrightarrow{n}_{x_1x_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) ist ein Normalenvektor der \(x_1x_2\)-Ebene.
Ebenengleichung in Normalenform (vgl. Merkhilfe)
Jede Ebene lässt sich durch eine Gleichung in Normalenform beschreiben. Ist \(A\) ein beliebiger Aufpunkt der Ebene \(E\) und \(\overrightarrow{n}_{E}\) ein Normalenvektor von \(E\), so erfüllt jeder Punkt \(X\) der Ebene \(E\) folgende Gleichungen:
Normalenform in Vektordarstellung
\[E \colon \overrightarrow{n}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A}) = 0\]
Normalenform in Koordinatendarstellung
\[E \colon n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0} = 0\]
mit \(n_{0} = -(\overrightarrow{n}_{E} \circ \overrightarrow{A}) = - \: n_{1}a_{1} - n_{2}a_{2} - n_{3}a_{3}\)
\(n_{1}\), \(n_{2}\) und \(n_{3}\): Koordinaten eines Normalenvektors \(\overrightarrow{n}_{E}\)
\(\textcolor{#0087c1}{E} \colon2x_1 + x_2 + x_3 = 6 \; \Rightarrow \; \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}}\) ist eine Normalenvektor der Ebene \(\textcolor{#0087c1}{E}\).
\[\begin{align*} \cos{\varphi} &= \frac{\vert \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{n}} \circ \overrightarrow{n}_{x_1x_2} \vert}{\vert \textcolor{#0087c1}{\overrightarrow{n}} \vert \cdot \vert \overrightarrow{n}_{x_1x_2} \vert} = \frac{\left| \textcolor{#0087c1}{\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right|}{\left| \textcolor{#0087c1}{\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right|} \\[0.8em] &= \frac{\vert \textcolor{#0087c1}{2} \cdot 0 + \textcolor{#0087c1}{1} \cdot 0 + \textcolor{#0087c1}{1} \cdot 1 \vert}{\sqrt{\textcolor{#0087c1}{2}^2 + \textcolor{#0087c1}{1}^2 + \textcolor{#0087c1}{1}^2} \cdot 1} \\[0.8em] &= \frac{1}{\sqrt{6}} &&| \; \text{TR:}\; \cos^{-1}(\dots) \\[2.4em] \varphi &= \cos^{-1}\left( \frac{1}{\sqrt{6}} \right) \approx 65{,}9^{\circ}\end{align*}\]
