Geometrie 2

Gegeben sind die Punkte \(R\,(8|5|1)\), \(S\,(-4|-1|1)\) und \(T_u\,(u|4|3)\) mit \(u \in \mathbb R\).

Bestimmen Sie einen Wert von \(u\) so, dass die drei Punkte ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis \([RS]\) bilden.

(4 BE)

Geben Sie eine Gleichung einer Geraden \(j\) an, die parallel zu \(H\) durch den Punkt \(Q\) verläuft.

(2 BE)

Gegeben sind die Ebene \(H\;\colon\, 2x_1 + x_2 - x_3 = 4\) und der Punkt \(Q\,(-3|0|2)\).

Spiegelt man den Punkt \(Q\) an der Ebene \(H\), so erhält man den Punkt \(Q'\). Ermitteln Sie die Koordinaten von \(Q'\).

(2 BE)

Spiegelt man die Ebene \(T\) an \(U\), so erhält man die von \(T\) verschiedene Ebene \(T'\). Zeigen Sie, dass für einen bestimmten Wert von \(a\) die Gerade \(g_{a}\) in der Ebene \(T\) liegt, und begründen Sie, dass diese Gerade \(g_{a}\) die Schnittgerade von \(T\) und \(T'\) ist.

(4 BE)

Berechnen Sie das Volumen des Körpers \(ABCDEF\).

(3 BE) 

Es gibt einen Punkt \(P(0|0|p)\), der im Inneren der Pyramide liegt und von allen vier Seitenflächen sowie der Grundfläche der Pyramide den gleichen Abstand hat. Mithilfe des folgenden Gleichungssystems lässt sich der Wert von \(p\) bestimmen:

Erläutern Sie die Überlegungen im geometrischen Zusammenhang, die diesem Vorgang zur Bestimmung des Werts von \(p\) zugrunde liegen.

(5 BE)

(4 BE)

Die Punkte \(M\) und \(N\) liegen auf der Geraden
\(\displaystyle \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 4{,}8 \\ 8 \\ 7{,}4 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\), \(\mu \in \mathbb R\),
die im Modell die Neigung der Dachfläche der Gaube festlegt. Die zur \(x_3\)-Achse parallele Strecke \([NL]\) stellt im Modell den sogenannten Gaubenstiel dar; dessen Länge soll 1,4 m betragen. Um die Koordinaten von \(N\) und \(L\) zu bestimmen, wird die Ebene \(F\) betrachtet, die durch Verschiebung von \(E\) um 1,4 in positive \(x_3\)-Richtung entsteht.

Begründen Sie, dass \(3x_1 + 4x_3 - 49{,}6 = 0\) eine Gleichung von \(F\) ist.

(3 BE)

Auf der Geraden \(t\) wird nun der Punkt \(M\) so festgelegt, dass der Abstand der Dachgaube vom First 1 m beträgt. Bestimmen Sie die Koordinaten von \(M\).

(3 BE)

Um 6 Uhr verläuft der Schatten des Polstabs im Modell durch den Mittelpunkt der Kante \([BC]\), um 12 Uhr durch den Mittelpunkt der Kante \([AB]\) und um 18 Uhr durch den Mittelpunkt der Kante \([AD]\). Begründen Sie, dass der betrachtete Zeitpunkt \(t_{0}\) vor 12 Uhr liegt.

(2 BE)

Die Ebene \(E\) teilt den Quader in zwei Teilkörper. Bestimmen Sie den Anteil des Volumens des pyramidenförmigen Teilkörpers am Volumen des Quaders, ohne die Volumina zu berechnen.

(3 BE)

Für die Fernsehübertragung eines Fußballspiels wird über dem Spielfeld eine bewegliche Kamera installiert. Ein Seilzugsystem, das an vier Masten befestigt wird, hält die Kamera in der gewünschten Position. Seilwinden, welche die Seile koordiniert verkürzen und verlängern, ermöglichen eine Bewegung der Kamera.

In der Abbildung ist das horizontale Spielfeld modellhaft als Rechteck in der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene eines kartesischen Koordinatensystems dargestellt. Die Punkte \(W_{1}\), \(W_{2}\), \(W_{3}\) und \(W_{4}\) beschreiben die Positionen der vier Seilwinden. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 1 m in der Realität, d. h. alle vier Seilwinden sind in einer Höhe von 30 m angebracht.

Der Punkt \(A(45|60|0)\) beschreibt die Lage des Anstoßpunkts auf dem Spielfeld. Die Kamera befindet sich zunächst in einer Höhe von 25 m vertikal über dem Anstoßpunkt. Um den Anstoß zu filmen, wird die Kamera um 19 m vertikal abgesenkt. In der Abbildung ist die ursprüngliche Kameraposition durch den Punkt \(K_{0}\), die abgesenkte Position durch den Punkt \(K_{1}\) dargestellt.

Berechnen Sie die Seillänge, die von jeder der vier Seilwinden abgerollt werden muss, um dieses Absenken zu ermöglichen, wenn man davon ausgeht, dass die Seile geradlinig verlaufen.

(4 BE)

Ermitteln Sie die Koordinaten des Vektors, der sowohl ein Normalenvektor von \(E\) als auch der Ortsvektor eines Punktes der Ebene \(E\) ist.

(3 BE)

Die untere Netzkante berührt die Plattform 2 an der Seite, die durch die Strecke \([RT]\) dargestellt wird. Betrachtet wird der untere Eckpunkt des Netzes, der oberhalb der Plattform 2 befestigt ist. Im Modell hat dieser Eckpunkt die Koordinaten \((5|10|h)\) mit einer reellen Zahl \(h > 3\). Die untere Netzkante liegt auf der Geraden \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ h - 2 \end{pmatrix}, \; \lambda \in \mathbb R\,\).

Berechnen Sie den Abstand des betrachteten Eckpunkts von der Plattform 2.

(5 BE)

Der Körper kann in neun Pyramiden zerlegt werden, von denen jede kongruent zu genau einer der drei  Pyramiden \(ABFS\), \(HDES\) bzw. \(EFGHS\) ist (vgl. Abbildung 2). Die Pyramide \(ABFS\) hat das Volumen \(\sf{33\frac{1}{3}}\) und die Pyramide \(HDES\) hat das Volumen \(\sf{13\frac{1}{3}}\). Bestimmen Sie das Volumen des gesamten Körpers.

(4 BE)

 (2 BE)

Die Abbildung zeigt einen Würfel der Kantenlänge 6. Die Koordinaten der Eckpunkte \(A\,(0|0|0)\), \(D\,(0|6|0)\) und \(G\,(6|6|6)\) sind gegeben.

Die Punkte \(B\), \(E\) und \(G\) liegen in einer Ebene \(L\). Bestimmen Sie eine Gleichung von \(L\) in Normalenform. Zeichnen Sie die Figur, in der die Ebene \(L\) den Würfel schneidet, in die Abbildung ein.

(mögliches Ergebnis: \(L\,\colon\; x_1 - x_2 + x_3 = 6\))

(5 BE)

Sonnenlicht, das an einem Sommertag zu einem bestimmten Zeitpunkt \(t_{0}\) auf die Sonnenuhr einfällt, wird im Modell durch parallele Geraden mit dem Richtungsvektor \(\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ -13 \end{pmatrix}\) dargestellt.

Weisen Sie nach, dass der Schatten der im Modell durch den Punkt \(S\) dargestellten Spitze des Polstabs außerhalb der rechteckigen Grundplatte liegt.

(6 BE)

Geben Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von \(E\) mit der \(x_{2}\)-Achse an.

(1 BE)

Kurze Zeit später legt sich ein Torhüter den Ball für einen Abstoß bereit. Der Abstoß soll von der Kamera aufgenommen werden. Durch das gleichzeitige Verlängern beziehungsweise Verkürzen der vier Seile wird die Kamera entlang einer geraden Bahn zu einem Zielpunkt bewegt, der in einer Höhe von 10 m über dem Spielfeld liegt. Im Modell wird der Zielpunkt durch den Punkt \(K_{2}\) beschrieben, die Bewegung der Kamera erfolgt vom Punkt \(K_{1}\) entlang der Geraden mit der Gleichung \(g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{K_{1}} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 20 \\ 2 \end{pmatrix}, \, \lambda \in \mathbb R\), zum Punkt \(K_{2}\).

Bestimmen Sie die Koordinaten von \(K_{2}\).

(Ergebnis: \(K_{2}(51|100|10)\))

(3 BE)