Bei einem anderen Schlag wird die Flugbahn des Federballs für \(-0{,}25 \leq x \leq 1\) mithilfe der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(g \colon x \mapsto -2x + 2\) beschrieben.
Zeigen Sie unter Verwendung einer geeigneten Skizze, dass die Entfernung eines beliebigen Punkts \(Q(x|g(x))\) auf dem Graphen von \(g\) zum Punkt \(N(0|1{,}55)\) durch den Term \(d(x) = \sqrt{5x^2-1{,}8x +0{,}2025}\) beschrieben werden kann.
(5 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2a
\[g(x) = -2x+2; \; D_g = \mathbb R\]
ergänzende Darstellung
Flugbahn des Federballs des betrachteten Schlags, die für für \(-0{,}25 \leq x \leq 1\) durch den Graphen der Funktion \(\textcolor{#cc071e}{g \colon x \mapsto -2x+2}\) beschrieben wird.
Verwendung einer geeigneten Skizze:
Die Skizze sollte die Aufgabenstellung qualitativ korrekt darstellen und den Lösungsansatz nachvollziehbar veranschaulichen. Sie muss nicht maßstabsgetreu oder längentreu sein.
Der Abstand \(d\) der Punkte \(N\) und \(Q\) lässt sich mithilfe des Satzes des Pythagoras beschreiben.
Mithilfe des Satzes des Pythagoras ergibt sich der Abstand \(d\) zweier Punkte \(P(x_P|y_P)\) und \(Q(x_Q|y_Q)\) in der Ebene anhand der Koordinaten.
\[d = \sqrt{(\textcolor{#cc071e}{x_Q} - \textcolor{#cc071e}{x_P})^2 + (\textcolor{#0087c1}{y_Q} - \textcolor{#0087c1}{y_P})^2}\]
\[\begin{align*}\left(d(x)\right)^2 &= (\textcolor{#cc071e}{x} - 0)^2 + (\textcolor{#cc071e}{g(x)} - 1{,}55)^2 \\[0.8em] d(x) &= \sqrt{\textcolor{#cc071e}{x}^2 + (\textcolor{#cc071e}{-2x+2} -1{,}55)^2} \\[0.8em] &= \sqrt{x^2 + (-2x+0{,}45)^2} &&|\; \text{1. B. F.:} \; (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\\[0.8em] &= \sqrt{x^2 + 4x^2 -1{,}8x + 0{,}2025} \\[0.8em] &= \sqrt{5x^2 - 1{,}8x +0{,}2025}\end{align*}\]
