Betrachtet wird ein Würfel, dessen Seiten mit den Zahlen von 1 bis 6 durchnummeriert sind.
Der Würfel wird zweimal geworfen. Die Zufallsgröße \(X\) gibt das Produkt der dabei erzielten Zahlen an. Begründen Sie, dass \(P(X = 10) = P(X = 15)\) gilt.
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe a
Das Produkt \(10\) kann nur aus den beiden gleich wahrscheinlichen Ergebnissen \(\{(2;5);(5;2)\}\) und das Produkt \(15\) nur aus den beiden gleichwahrscheinlichen Ergebnissen \(\{(3;5);(5;3)\}\) erzielt werden.
Somit sind die Wahrscheinlichkeiten \(P(X = 10)\) und \(P(X = 15)\) gleich groß.
Ergänzung (nicht verlangt)
\[\begin{align*}P(X = 10) &= P(X =15) \\[0.8em] P(\{(2;5)\}) + P(\{(5;2)\}) &= P(\{(3;5)\}) + P(\{(5;3)\}) \\[0.8em] \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} &= \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \\[0.8em] \frac{1}{18} &= \frac{1}{18}\end{align*}\]
