Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f\) mit \(f(x) = \frac{1}{4}x^3-3x\).

Für die zweite Ableitungsfunktion von \(f\) gilt \(f''(2) \neq 0\). Zeigen Sie, dass \(2\) eine Extremstelle von \(f\) ist.

(2 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3a

 

\[f(x) = \frac{1}{4}x^3-3x; \; D_f = \mathbb R\]

 

\(2\) ist eine Extremstelle von \(f\), wenn \(f'(2) = 0\) (notwendige Bedingung) und \(f''(2) \neq 0\) gilt, denn \(f''(2) < 0\) begründet ein lokales Maximum und \(f''(2) > 0\) begründet ein lokales Minimum von \(f\).

Es ist also lediglich zu zeigen, dass \(f'(2) = 0\) gilt.

Extremstelle(n) bestimmen

Extremstelle(n) bestimmen

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Extremstelle(n) bestimmen mit Vorzeichenwechsel der 1. Ableitung

Ist eine Funktion \(f\) in einem Intervall \(I =\, ]a;b[\) differenzierbar und \(x_0\) eine innere Stelle von \(I\), so gilt:

Wenn \(\textcolor{#cc071e}{f'(x_0) = 0}\) ist und \(\textcolor{#cc071e}{f'}\) bei \(x_0\) einen Vorzeichenwechsel

von \(\textcolor{#cc071e}{+}\) nach \(\textcolor{#cc071e}{–}\) hat, dann besitzt \(f\) an der Stelle \(x_0\) ein lokales Maximum \(f(x_0)\).

Extremstelle, lokales Maximum

von \(\textcolor{#cc071e}{–}\) nach \(\textcolor{#cc071e}{+}\) hat, dann besitzt \(f\) an der Stelle \(x_0\) ein lokales Minimum \(f(x_0)\).

Extremstelle, lokales Minimum

Extremstelle(n) bestimmen mit Vorzeichen der 2. Ableitung

Ist eine Funktion \(f\) in einem Intervall \(I =\, ]a;b[\) zweimal differenzierbar und \(x_0\) eine innere Stelle von \(I\), so gilt:

Wenn \(\textcolor{#e9b509}{f'(x_0) = 0}\) und \(f''(x_0) \textcolor{#cc071e}{\boldsymbol{<}} 0\) ist, dann besitzt \(f\) an der Stelle \(x_0\) ein lokales Maximum \(f(x_0)\).

Extremstelle, Rechtskrümmung, lokales Maximum

Wenn \(\textcolor{#e9b509}{f'(x_0) = 0}\) und \(f''(x_0) \textcolor{#0087c1}{\boldsymbol{>}} 0\) ist, dann besitzt \(f\) an der Stelle \(x_0\) ein lokales Minimum \(f(x_0)\).

Extremstelle, Linkskrümmung, lokales Minimum

Erste Ableitung \(f'\) bilden: \(f'(x) = \dfrac{3}{4}x^2 - 3\)

Erste Ableitung elementarer Funktionen und Ableitungsregeln

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Ableitungen der Grundfunktionen

\[c' = 0 \enspace (c \in \mathbb R)\]

\[\left( x^r \right)' = r \cdot x^{r - 1} \enspace (r \in \mathbb R)\]

\[\left( \sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\]

\[\left( \sin{x} \right)' = \cos{x}\]

\[\left( \cos{x} \right)' = -\sin{x}\]

 

\[\left( \ln{x} \right)' = \frac{1}{x}\]

\[\left( \log_{a}{x}\right)' = \frac{1}{x \cdot \ln{a}}\]

\[\left( e^x \right)' = e^x\]

\[\left(a^x \right)' = a^x \cdot \ln{a}\]

 

Faktorregel

\[\begin{align*}f(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u(x)} \\[0.8em] f'(x) &= a \cdot \textcolor{#0087c1}{u'(x)}\end{align*}\]

Summenregel

\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} + \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} + \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]

Produktregel

\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} + \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]

 

Quotientenregel

\[\begin{align*}f(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u(x)}}{\textcolor{#cc071e}{v(x)}} \\[0.8em] f'(x) &= \dfrac{\textcolor{#0087c1}{u'(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v(x)} - \textcolor{#0087c1}{u(x)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}}{[\textcolor{#cc071e}{v(x)}]^{2}}\end{align*}\]

Kettenregel

\[\begin{align*}f(x) &= \textcolor{#0087c1}{u(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \\[0.8em] f'(x) &= \textcolor{#0087c1}{u'(}\textcolor{#cc071e}{v(x)}\textcolor{#0087c1}{)} \cdot \textcolor{#cc071e}{v'(x)}\end{align*}\]

 

Damit ergibt sich: \(f'(2) = \dfrac{3}{4} \cdot 2^2 - 3 = 3 - 3 = 0\)

 

Mit \(f'(2) = 0\) und \(f''(2) \neq 0\) ist \(2\) eine Extremstelle von \(f\).