Für die erste Ableitung von \(f_{a,b,c}\) gilt: \(f'_{a,b,c}(x) = -\dfrac{ax^{2} + 2bx - ac}{(x^{2} +c)^{2}}\).
Zeigen Sie: Wenn \(a \neq 0\) und \(c > 0\) gilt, dann besitzt der Graph von \(f_{a,b,c}\) genau zwei Extrempunkte.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2d
\[f'_{a,b,c}(x) = -\frac{ax^{2} + 2bx - ac}{(x^{2} +c)^{2}}\]
Anwendung der Differentialrechnung:
Extrempunkte
Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und wechselt \(f'\) an der Stelle \(x_{0}\) das Vorzeichen, so hat \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) einen Extrempunkt.
(vgl. Merkhilfe)
Der Graph von \(f_{a,b,c}\) besitzt genau zwei Extrempunkte, wenn \(\boldsymbol{f'_{a,b,c}}\) genau zwei Nullstellen mit Vorzeichenwechsel hat. Dies ist dann der Fall, wenn die quadratische Gleichung \(\textcolor{#cc071e}{a}x^{2} + 2bx - ac = 0\) mit \(\textcolor{#cc071e}{a \neq 0}\) zwei Lösungen hat.
\[f'{a,b,c}(x) = 0 \enspace \Rightarrow \enspace ax^{2} + 2bx - ac = 0; \; \textcolor{#cc071e}{a \neq 0}\]
Die quadratische Gleichung hat zwei Lösungen, wenn die Diskriminante \(\boldsymbol{D}\) positiv ist.
Lösungsformel für quadratische Gleichungen (vgl. Merkhilfe)
\[ax^2 + bx + c = 0 \,, \qquad a, b, c \in \mathbb R \,, \quad a \neq 0\]
\[\begin{align*} x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \quad b^2 \geq 4ac \\[0.8em] x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}, \quad D \geq 0 \end{align*}\]
Diskriminante \(D = b^2 -4ac \;\):
\(D < 0\,\): keine Lösung
\(D = 0\,\): genau eine Lösung
\(D > 0\,\): zwei verschiedene Lösungen
\[D = (2b)^{2} - 4 \cdot a \cdot (-ac) = 4b^{2} + 4a^{2}c\]
Für \(\textcolor{#cc071e}{a \neq 0}\) und \(\textcolor{#e9b509}{c > 0}\) gilt:
\[D = \underbrace{4b^{2}}_{>\,0} + \underbrace{4\textcolor{#cc071e}{a}^{2}\textcolor{#e9b509}{c}}_{>\,0} > 0\]
Mit \(\boldsymbol{D > 0}\) besitzt die quadratische Gleichung \(ax^{2} + 2bx - ac = 0\) für \(\textcolor{#cc071e}{a \neq 0}\) und \(\textcolor{#e9b509}{c > 0}\) zwei Lösungen. Und da \(f_{a,b,c}\) mit \(\textcolor{#e9b509}{c > 0}\) in \(\mathbb R\) definiert ist (vgl. Teilaufgabe 2c), besitzt somit \(\boldsymbol{f'_{a,b,c}}\) genau zwei Nullstellen mit Vorzeichenwechsel.
Also besitzt der Graph von \(f_{a,b,c}\) genau zwei Extrempunkte, wenn \(\textcolor{#cc071e}{a \neq 0}\) und \(\textcolor{#e9b509}{c > 0}\) gilt.
