Abiturlösungen Mathematik Bayern 2013

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

An einem Teil der südlichen Außenwand sind Solarmodule flächenbündig montiert. Die Solarmodule bedecken im Modell eine dreieckige Fläche, deren Eckpunkte die Spitze \(S\) sowie die Mittelpunkte der Kanten \([SB]\) und \([SC]\) sind.

Ermitteln Sie den Inhalt der von den Solarmodulen bedeckten Fläche.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1d

 

1. Lösungsansatz: Zweiter Strahlensatz

2. Lösungsansatz: Anwenden des Vektorprodunkts (Flächeninhalt eines Parallelogramms/Dreiecks)

3. Lösungsansatz: Trigonometrische Flächenberechnung

 

1. Lösungsansatz: Zweiter Strahlensatz

 

Dreieck BCS und dreieckige von den Solarmodulen bedeckten Fläche mit den zugehörigen Höhen h₁  und h₂

Dreieck \(BCS\) mit Höhe \(h_1\) und Dreieck \(M_{SB}M_{SC}S\) mit Höhe \(h_2\)

 

Flächeninhalt des Dreiecks \(M_{SB}M_{SC}S\):

 

\[A_{M_{SB}M_{SC}S} = \frac{1}{2} \cdot \overline{M_{SB}M_{SC}} \cdot h_2\]

 

Die Länge der Strecke \([M_{SB}M_{SC}]\) und die Länge der Höhe \(h_2\) lässt sich mithilfe des zweiten Strahlensatzes berechen.

 

Länge der Strecke \([M_{SB}M_{SC}]\) berechnen:

Strahlensätze

Strahlensätze (vgl. Merkhilfe)

Vierstreckensätze: X-Figur, V-Figur

Erster Strahlensatz:

\[AB \parallel A'B' \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{\overline{ZA}}{\overline{ZA'}} = \frac{\overline{ZB}}{\overline{ZB'}}\]

\[AB \parallel A'B' \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{\overline{ZA}}{\overline{AA'}} = \frac{\overline{ZB}}{\overline{BB'}}\]

Zweiter Strahlensatz:

\[AB \parallel A'B' \quad \Longrightarrow \quad \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{\overline{ZA}}{\overline{ZA'}}\]

Dreieck BCS und dreieckige von den Solarmodulen bedeckten Fläche mit den zugehörigen Höhen h₁  und h₂

\[\frac{\overline{SM_{SB}}}{\overline{SB}} = \frac{\overline{M_{SB}M_{SC}}}{\overline{BC}} = \frac{1}{2}\]

\[\Longrightarrow \quad \overline{M_{SB}M_{SC}} = \frac{1}{2} \cdot \overline{BC} = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6\]

 

Länge der Höhe \(h_2\) berechnen:

Strahlensätze

Strahlensätze (vgl. Merkhilfe)

Vierstreckensätze: X-Figur, V-Figur

Erster Strahlensatz:

\[AB \parallel A'B' \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{\overline{ZA}}{\overline{ZA'}} = \frac{\overline{ZB}}{\overline{ZB'}}\]

\[AB \parallel A'B' \quad \Longleftrightarrow \quad \frac{\overline{ZA}}{\overline{AA'}} = \frac{\overline{ZB}}{\overline{BB'}}\]

Zweiter Strahlensatz:

\[AB \parallel A'B' \quad \Longrightarrow \quad \frac{\overline{AB}}{\overline{A'B'}} = \frac{\overline{ZA}}{\overline{ZA'}}\]

Dreieck BCS und dreieckige von den Solarmodulen bedeckten Fläche mit den zugehörigen Höhen h₁  und h₂

\[\frac{h_2}{h_1} = \frac{\overline{M_{SB}M_{SC}}}{\overline{BC}} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\]

\[\Longrightarrow \quad h_2 = \frac{1}{2} \cdot h_1\]

 

Länge der Höhe \(h_1\) berechnen:

 

Mittelpunkte der Kanten [SB] und [SC], Mittelpunkt der Seitenlänge [BC], Höhe h₁ des Dreiecks BCS zur Grundlinie [BC]

Im rechtwinkligen Dreieck \(SMM_{BC}\) gilt nach dem Satz des Pythagoras:

Satzgruppe des Pythagoras

Satzgruppe des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck

Satz des Pythagoras

\[\hspace{5px}a^2 + b^2 = c^2\]

Höhensatz

\[h^2 = p \cdot q\]

Kathetensatz

\[a^2 = c \cdot p\,; \enspace b^2 = c \cdot q\]

Rechtwinkliges Dreieck, Satzgruppe des Pythagoras, Höhensatz, Kathetensatz

\[\begin{align*} {h_1}^2 &= {\overline{MS}}^2 + {\overline{MM_{BC}}}^2 & &| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] h_1 &= \sqrt{{\overline{MS}}^2 + {\overline{MM_{BC}}}^2} \\[0.8em] &= \sqrt{8^2 + 6^2} \\[0.8em] &= 10 \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad h_2 = \frac{1}{2} \cdot h_1 = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5\]

 

Flächeninhalt \(A_{M_{SB}M_{SC}S}\) des Dreiecks \(M_{SB}M_{SC}S\) berechnen:

 

\[\begin{align*} A_{M_{SB}M_{SC}S} &= \frac{1}{2} \cdot \overline{M_{SB}M_{SC}} \cdot h_2 \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 \\[0.8em] &= 15 \end{align*}\]

 

Der Inhalt der von den Solarmodulen bedeckten Fläche beträgt 15 m².

 

2. Lösungsansatz: Anwenden des Vektorprodukts (Flächenihalt eines Parallelogramms/Dreiecks)

 

Die Spitze S und die Mittelpunkte der Kanten [SB] und [SC] legen zwei linear unabhängige Vektoren fest, deren halbes Vektorprodukt gleich dem Inhalt der von den Solarmodulen bedeckten dreieckigen Fläche ist.

Das halbe Vektorprodukt der Vektoren \(\overrightarrow{SM_{SB}}\) und \(\overrightarrow{SM_{SC}}\) ist gleich dem Inhalt der von den Solarmodulen bedeckten dreieckigen Fläche \(M_{SB}M_{SC}S\).

 

\[A_{M_{SB}M_{SC}S} = \frac{1}{2} \cdot \left| \left( \overrightarrow{SM_{SB}} \times \overrightarrow{SM_{SC}} \right) \right|\]

Vektorprodukt - Flächeninhalt eines Parallelogramms

Anwendung des Vekorprodukts:

Flächeninhalt eines Parallelogramms

Flächeninhalt des von den Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) aufgespannten Parallelogramms:

\[A = \vert \; \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \; \vert = \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert \cdot \sin \varphi\]

Anwendung des Vektorproduktes, Berechnung der Parallelogrammfläche

 

Vektoren \(\overrightarrow{SM_{SB}}\) und \(\overrightarrow{SM_{SC}}\) berechnen:

 

\[\begin{align*} \overrightarrow{SM_{SB}} &= \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{SB} \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left( \overrightarrow{B} - \overrightarrow{S} \right) \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left[ \begin{pmatrix} 12 \\ 12 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix} \right] \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

\[\begin{align*} \overrightarrow{SM_{SC}} &= \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{SC} \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left( \overrightarrow{C} - \overrightarrow{S} \right) \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left[ \begin{pmatrix} 0 \\ 12 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix} \right] \\[0.8em] &= \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} \end{align*}\]

 

Flächeninhalt \(A_{M_{SB}M_{SC}S}\) des Dreiecks \(M_{SB}M_{SC}S\) berechnen:

Vektorprodukt

Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

Das Vektorprodukt \(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\) zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) erzeugt einen neuen Vektor \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\) mit den Eigenschaften:

\(\overrightarrow{c}\) ist sowohl zu \(\overrightarrow{a}\) als auch zu \(\overrightarrow{b}\) senkrecht.

\[\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{c} \perp \overrightarrow{a}, \enspace \overrightarrow{c} \perp \overrightarrow{b}\]

Der Betrag des Vektorprodukts zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) ist gleich dem Produkt aus den Beträgen der Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) und dem Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels \(\varphi\).

\[\vert \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \vert = \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert \cdot \sin{\varphi} \quad (0^{\circ} \leq \varphi \leq 180^{\circ})\]

Die Vektoren \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) und \(\overrightarrow{c}\) bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem. Rechtehandregel: Weist \(\overrightarrow{a}\) in Richtung des Daumens und \(\overrightarrow{b}\) in Richtung des Zeigefingers, dann weist \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\) in Richtung des Mittelfingers.

Berechnung eines Vektorprodukts im \(\boldsymbol{\mathbb R^{3}}\) (vgl. Merkhilfe)

\[\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin {pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} a_2 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_2 \\ a_3 \cdot b_1 - a_1 \cdot b_3 \\ a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1 \end {pmatrix}\]

\[\begin{align*} A_{M_{SB}M_{SC}S} &= \frac{1}{2} \cdot \left| \left( \overrightarrow{SM_{SB}} \times \overrightarrow{SM_{SC}} \right) \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left| \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left| \begin{pmatrix} 3 & \cdot & (-4) & - & (-4) & \cdot & 3 \\ (-4) & \cdot & (-3) & - & 3 & \cdot & (-4) \\ 3 & \cdot & 3 & - & 3 & \cdot & (-3) \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 24 \\ 18 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{0^2 + 24^2 + 18^2} \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{900} \\[0.8em] &= 15 \end{align*}\]

 

Der Inhalt der von den Solarmodulen bedeckten Fläche beträgt 15 m².

 

3. Lösungsansatz: Trigonometrische Flächenberechnung

 

Maß φ des Winkels ∠ BSC

Ist z.B. das Maß \(\varphi\) des Winkels \(\measuredangle BSC\) bekannt, lässt sich der Flächeninhat \(A_{M_{SB}M_{SC}S}\) des Dreiecks \(M_{SB}M_{SC}S\) trigonometrisch berechnen.

Trigonometrie - Flächeninhalt eines Dreiecks

Trigonometrische Berechnung im Allgemeinen Dreieck:

Flächeninhalt \(\boldsymbol{A}\) eines Dreiecks

\[A = \frac{1}{2} b \cdot c \cdot \sin \alpha\]

\[A = \frac{1}{2} a \cdot c \cdot \sin \beta\]

\[A = \frac{1}{2} a \cdot b \cdot \sin \gamma\]

Allgemeines Dreieck

\[\begin{align*}A_{M_{SB}M_{SC}S} &= \frac{1}{2} \cdot \overline{SM_{SB}} \cdot \overline{SM_{SC}} \cdot \sin{\varphi} & &| \; \overline{SM_{SB}} = \overline{SM_{SC}} \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot {\overline{SM_{SB}}}^2 \cdot \sin{\varphi} & &| \; \overline{SM_{SB}} = \frac{1}{2} \cdot \overline{SB} \\[0.8em] &= \frac{1}{8} \cdot {\overline{SB}}^2 \cdot \sin{\varphi} \end{align*}\]

 

Maß \(\varphi\) des Winkels \(\measuredangle BSC\) berechnen:

 

1. Möglichkeit: Winkel zwischen zwei Vektoren

Maß φ des Winkels ∠ BSC zwischen den Vektoren von S nach B und von S nach C

Maß \(\varphi\) des Winkels \(\measuredangle BSC\) zwischen den den Vektoren \(\overrightarrow{SB}\) und \(\overrightarrow{SC}\)

Winkel zwischen zwei Vektoren

Anwendung des Skalarprodukts:

Winkel zwischen zwei Vektoren (vgl. Merkhilfe)

\[\cos \varphi = \frac{\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b}}{\vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert}\,; \quad \varphi \in [0;\pi]\]

Winkel zwischen zwei Vektoren

\[\begin{align*}\cos{\varphi} &= \frac{\vert \overrightarrow{SB} \circ \overrightarrow{SC} \vert}{\vert \overrightarrow{SB} \vert \cdot \vert \overrightarrow{SC} \vert} & &| \; \vert \overrightarrow{SB} \vert = \vert \overrightarrow{SC} \vert \\[0.8em] &= \frac{\vert \overrightarrow{SB} \circ \overrightarrow{SC} \vert}{{\vert \overrightarrow{SB} \vert}^2} \end{align*}\]

 

Vektoren \(\overrightarrow{SB}\) und \(\overrightarrow{SC}\) und deren Betrag berechnen:

 

\[\overrightarrow{SB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{S} = \begin{pmatrix} 12 \\ 12 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ -8 \end{pmatrix}\]

\[\overrightarrow{SC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{S} = \begin{pmatrix} 0 \\ 12 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ 6 \\ -8 \end{pmatrix}\]

 

\[\vert \overrightarrow{SB} \vert = \left| \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ -8 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{6^2 + 6^2 + (-8)^2} = 2\sqrt{34}\]

 

\[\begin{align*}\cos{\varphi} &= \frac{\vert \overrightarrow{SB} \circ \overrightarrow{SC} \vert}{{\vert \overrightarrow{SB} \vert}^2} \\[0.8em] &= \frac{\left| \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ -8 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -6 \\ 6 \\ -8 \end{pmatrix} \right|}{(2\sqrt{34})^2} \\[0.8em] &= \frac{\vert 6 \cdot (-6) + 6 \cdot 6 + (-8) \cdot (-8) \vert}{136} \\[0.8em] &= \frac{8}{17} & &| \; \cos^{-1}(\dots) \\[0.8em] \varphi &= 68{,}8^{\circ} \end{align*}\]

 

2. Möglichkeit: Satz des Pythagoras, Trigonometrie - rechtwinkliges Dreieck

Die Höhe h teilt das Dreieck BCS in zwei rechtwinklige Dreiecke, deren Winkel sich trigonometrisch bestimmen lassen.

Höhe \(h\) des Dreiecks \(BCS\), rechtwinkliges Dreieck \(SMM_{BC}\) und rechtwinkliges Dreieck \(BM_{BC}S\)

 

Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck \(SMM_{BC}\) anwenden:

Satzgruppe des Pythagoras

Satzgruppe des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck

Satz des Pythagoras

\[\hspace{5px}a^2 + b^2 = c^2\]

Höhensatz

\[h^2 = p \cdot q\]

Kathetensatz

\[a^2 = c \cdot p\,; \enspace b^2 = c \cdot q\]

Rechtwinkliges Dreieck, Satzgruppe des Pythagoras, Höhensatz, Kathetensatz

\[\begin{align*} {h}^2 &= {\overline{MS}}^2 + {\overline{MM_{BC}}}^2 & &| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] h &= \sqrt{{\overline{MS}}^2 + {\overline{MM_{BC}}}^2} \\[0.8em] &= \sqrt{8^2 + 6^2} \\[0.8em] &= 10 \end{align*}\]

 

Trigonometrische Beziehung im rechtwinkligen Dreieck \(BM_{BC}S\) anwenden:

Trigonometrie - rechtwinkliges Dreieck

Trigonometrische Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck (vgl. Merkhilfe)

\[\sin \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\]

\[\cos \alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\]

\[\tan \alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\]

Grafik: Trigonometrische Beziehungen im rechtwinkligen Dreieck

\[\begin{align*}\tan{\frac{\varphi}{2}} &= \frac{\frac{1}{2} \cdot \overline{BC}}{h} \\[0.8em] &= \frac{6}{10} \\[0.8em] &= \frac{3}{5} & &| \; \tan^{-1}(\dots) \\[0.8em] \frac{\varphi}{2} &= 34{,}4^{\circ} & &| \cdot 2 \\[0.8em] \varphi &= 68{,}8^{\circ} \end{align*}\]

 

Flächeninhalt \(A_{M_{SB}M_{SC}S}\) des Dreiecks \(M_{SB}M_{SC}S\) berechnen:

 

\[\begin{align*}A_{M_{SB}M_{SC}S} &= \frac{1}{8} \cdot {\overline{SB}}^2 \cdot \sin{\varphi} \\[0.8em] &= \frac{1}{8} \cdot (2\sqrt{34})^2 \cdot \sin{68{,}8^{\circ}} \\[0.8em] &= 15  \end{align*}\]

 

Der Inhalt der von den Solarmodulen bedeckten Fläche beträgt 15 m².