Die Testperson benötigt für einen vollständigen Atemzyklus 4 Sekunden. Die Anzahl der Atemzyklen pro Minute wird als Atemfrequenz bezeichnet.
Geben Sie zunächst die Atemfrequenz der Testperson an.
Die Atemstromstärke eines jüngeren Menschen, dessen Atemfrequenz um 20 % höher ist als die der bisher betrachteten Testperson, soll durch eine Sinusfunktion der Form \(h \colon t \mapsto a \cdot \sin(b \cdot t)\) mit \(t \geq 0\) und \(b > 0\) beschrieben werden. Ermitteln Sie den Wert von \(b\).
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 3e
Allgemeine Sinusfunktion, Parameterwert bestimmen
\[h(t) = a \cdot \sin(b \cdot t)\,; \enspace t \geq 0\,, \enspace b > 0\]
Atemfrequenz der Testperson
Laut der Angabe wird die Anzahl der Atemzyklen pro Minute als Atemfrequenz bezeichnet. Ein vollständiger Atemzyklus (Einatmen und Ausatmen) der Testperson dauert vier Sekunden.
\[\frac{60\;\sf{s}}{4 \;\sf{s}} = 15\]
Die Atemfrequenz der Testperson ist 15.
Wert von \(b\)
20 % höhere Atemfrequenz des jüngeren Menschen:
\[15 \cdot 1{,}2 = 18\]
Vollständiger Atemzyklus des jüngeren Menschen:
\[\frac{60\;\sf{s}}{18} = \frac{10}{3}\;\sf{s}\]
Ein vollständiger Atemzyklus des jüngeren Menschen entspricht der Periode der Sinusfunktion \(h\), welche die Atemstromstärke des jüngeren Menschen beschreiben soll.
\[h(t) = a \cdot \sin(b \cdot t)\,; \enspace t \geq 0\,, \enspace b > 0\]
\[p = \frac{10}{3}\]
Allgemeine Sinusfunktion
\[f(x) = a \cdot \sin(bx + c) + d = a \cdot \sin \left[b \left(x + \frac{c}{b} \right) \right] + d\]
\[a,b,c,d \in \mathbb R\;; \quad a,b \neq 0\;; \quad x \in \mathbb R\]
Streckung um \(a\) in \(y\)-Richtung
Streckung um \(\displaystyle \frac{1}{b}\) in \(x\)-Richtung, Periode: \(\displaystyle p = \frac{2\pi}{\vert b \vert}\)
Verschiebung um \(\displaystyle -\frac{c}{b}\) in \(x\)-Richtung
Verschiebung um \(d\) in \(y\)-Richtung
Für die Periode \(p\) der allgemeinen Sinusfunktion gilt: \(\displaystyle p = \frac{2\pi}{\vert b \vert}\)
\[\begin{align*}p &= \frac{2\pi}{\vert b \vert} & &| \; b > 0 \\[0.8em] \Longleftrightarrow \quad b &= \frac{2\pi}{p} \\[0.8em] &= \frac{2\pi}{\frac{10}{3}} \\[0.8em] &= \frac{6\pi}{10} \\[0.8em] &= \frac{3}{5}\pi\end{align*}\]