Folgende Tabelle gibt für die verschiedenen Empfänger von Spenderblut an, welches Spenderblut für sie jeweils geeignet ist:
Für einen Patienten mit der Blutgruppe \(B\) und dem Rhesusfaktor \(Rh-\) wird Spenderblut benötigt. Bestimmen Sie, wie viel zufällig ausgewählte Personen mindestens Blut spenden müssten, damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 95 % mindestens eine für diesen Patienten geeignete Blutspende erhält.
(5 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1c
Binomialverteilung
Binomialverteilte Zufallsgröße
Für eine Zufallsgröße \(X\), welche bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, gilt:
Binomialverteilung (vgl. Merkhilfe)
\[P_{p}^{n}(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \quad (0 \leq k \leq n)\]
Eine Binomialverteilung ist durch die Parameter \(n\) und \(p\) eindeutig bestimmt und wird durch das Symbol \(B(n:p)\) gekennzeichnet. \(X\) heißt binomialverteilt nach \(B(n;p)\).
Voraussetzung für eine Binomialverteilung
Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können (Bernoulli-Experiment).
Zufallsgröße \(X\colon\enspace\)Anzahl geeigneter Spender für einen Patienten mit der Blutgruppe \(B\) und dem Rhesusfaktor \(Rh-\)
Analyse der Angabe:
„Für einenen Patienten mit der Blutgruppe \(B\) und dem Rhesusfaktor \(Rh-\) wird Spenderblut benötigt."
\(\Longrightarrow \quad p = P(0 \cap Rh-) + P(B \cap Rh-)\) (siehe Tabelle)
„...mindestens eine für diesen Patienten geeignete Blutspende erhält."
\(\Longrightarrow \quad X \geq 1\)
„...damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 95 %..."
\(\Longrightarrow \quad P_p^n(X \geq 1) > 0{,}95\)
Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) berechnen:
Der Tabelle aus Teilaufgabe 1a (Verteilung der Blutgruppen und der Rhesusfaktoren) entnimmt man die Wahrscheinlichkeiten \(P(0 \cap RH-)\) und \(P(B \cap Rh-)\).
\[P(0 \cap Rh-) = 6\,\%\]
\[P(B \cap Rh-) = 2\,\%\]
\[\begin{align*}p &= P(0 \cap Rh-) + P(B \cap Rh-) \\[0.8em] &= 0{,}06 + 0{,}02 \\[0.8em] &= 0{,}08\end{align*}\]
Betrachten des Gegenereignisses:
Betrachten des Gegenereignisses (mindestens 1 Treffer)
Wahrscheinlichkeitsberechnungen einer binomialverteilten Zufallsgröße \(X\) der Form „mindestens 1 Treffer" \(P(X \geq 1)\) vereinfachen sich durch die Betrachtung des Gegenereignisses „nicht 0 Treffer":
\[P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)\]
Formel von Bernoulli
Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer bei einer Bernoullikette der Länge \(n\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) für das Eintreten eines betrachteten Ereignisses:
\[P(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}\]
\[k \in \{0,1,\dots,n\}\]
\[\begin{align*} P_{0{,}08}^n(X \geq 1) &> 0{,}95 & &|\;\text{Gegenereignis formulieren} \\[0.8em] 1 - P_{0{,}08}^n(X = 0) &> 0{,}95 & &| - 1 \\[0.8em] -P_{0{,}08}^n(X = 0) &> -0{,}05 & &| \cdot (-1)\quad \text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] P_{0{,}08}^n(X = 0) &< 0{,}05 & &|\;\text{Formel von Bernoulli anwenden} \\[0.8em] \underbrace{\binom{n}{0}}_{1} \cdot \underbrace{0{,}08^0}_{1} \cdot (1 - 0{,}08)^{n - 0} &< 0{,}05 \\[0.8em] 0{,}92^n &< 0{,}05 & &|\; \ln (\dots) \\[0.8em] n \cdot \ln 0{,}92 &< \ln 0{,}05 & &| : \ln 0{,}92 \quad \text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] n &> \frac{\ln 0{,}05}{\ln 0{,}92} \\[0.8em] n &\gtrapprox 35{,}93 \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad n \geq 36\]
Mindestens 36 zufällig ausgewählte Personen müssen Blut spenden, damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 95 % mindestens eine geeignete Blutspende erhält.
