Abiturlösungen Mathematik Bayern 2014 (Beispiel-Abiturprüfung)

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Berechnen Sie die Funktionswerte \(p(0)\), \(p(\pi)\), \(p(2\pi)\), \(p(3\pi)\) und \(p(4\pi)\). Zeichnen Sie für \(x \geq 0\) den Graphen von \(p\) sowie den Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(-p\,\colon x \mapsto -p(x)\) unter Berücksichtigung der bisherigen Ereignisse in die Abbildung ein.

(4 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2b

 

\[p(x) = e^{-\frac{1}{4}x}\,; \quad D = \mathbb R\]

 

Berechnung der Funktionswerte  \(p(0)\), \(p(\pi)\), \(p(2\pi)\), \(p(3\pi)\) und \(p(4\pi)\)

 

\[p(0) = e^{-\frac{1}{4} \cdot 0} = 1\]

\[p(\pi) = e^{-\frac{1}{4} \cdot \pi} \approx 0{,}46\]

\[p(2\pi) = e^{-\frac{1}{4} \cdot 2\pi} \approx 0{,}21\]

\[p(3\pi) = e^{-\frac{1}{4} \cdot 3\pi} \approx 0{,}09\]

\[p(4\pi) = e^{-\frac{1}{4} \cdot 4\pi} \approx 0{,}04\]

 

Zeichnung des Graphen von \(p\) sowie des Graphen von \(-p\) für \(x \geq 0\)

 

Bisherige Ergebnisse (siehe Teilaufgabe 2a):

  • Der Graph von \(p\) ist für alle \(x \in \mathbb R\) streng monoton fallend. 
  • \[\lim \limits_{x \to +\infty} p(x) = 0\]
  • \[\lim \limits_{x \to -\infty} p(x) = +\infty\]

 

Der Graph der Funktion \(-p\) entsteht durch Spiegelung des Graphen der Funktion \(p\) an der \(x\)-Achse.

Spiegeln von Funktionsgraphen

Spiegeln von Funktionsgraphen

Spiegelung an der \(x\)-Achse: \(g(x) = -f(x)\)

Spiegelung an der \(y\)-Achse: \(h(x) = f(-x)\)

Graph der Funktion p, Graph der Funktion -p und Graph der Funktion q

Graph der Funktion \(p\) und Graph der Funktion \(-p\), Graph der Funktion \(g\)

2.4.4 Abstand Punkt - Ebene

2.4.4 Abstand Punkt - Ebene
2.4.4 Abstand Punkt - Ebene