Die Kante \([AS]\) steht senkrecht auf der Grundfläche \(ABCD\). Der Flächeninhalt der Grundfläche beträgt \(24\sqrt{2}\).

Ermitteln Sie das Volumen der Pyramide.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 2b

 

Volumen einer Pyramide

 

\[A\,(0|0|0)\,, \enspace B\,(4|4|2)\,, \enspace C\,(8|0|2)\,, \enspace D\,(4|-4|0)\,, \enspace S\,(1|1|-4)\]

\[[AS] \perp ABCD\]

\[A_{ABCD} = 24\sqrt{2}\]

 

1. Lösungsansatz: \(V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h\)

Pyramide ABCDS mit [AS] ⊥ ABCD

Die Höhe einer Pyramide ist der Abstand der Pyramidenspitze von der Ebene, in der die Grundfläche der Pyramide liegt. Da die Kante \([AS]\) senkrecht auf der Grundfläche \(ABCD\) liegt, ist die Länge der Kante \([AS]\) die Höhe der Pyramide \(ABCDS\).

Volumen einer Pyramide

Volumen einer Pyramide

\[V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h\]

\(G\): Flächeninhalt der Grundfläche der Pyramide

\(h\): Höhe der Pyramide

(vgl. Merkhilfe)

\[V_{ABCDS} = \frac{1}{3} \cdot A_{ABCD} \cdot \overline{AS}\]

 

Höhe der Pyramide \(ABCDS\) berechnen:

Betrag eines Vektors

Betrag eines Vektors

\[ \vert \overrightarrow{a} \vert = \sqrt{\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{a}} = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}\]

(vgl. Merkhilfe)

\[\begin{align*} \overline{AS} &= \vert \overrightarrow{AS} \vert \\[0.8em] &= \vert \overrightarrow{S} - \overrightarrow{A} \vert & &| \; \overrightarrow{A} = \overrightarrow{0} \\[0.8em] &= \vert \overrightarrow{S} \vert \\[0.8em] &= \left| \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \sqrt{1^{2} + 1^{2} + (-4)^{2}} \\[0.8em] &= \sqrt{18} \\[0.8em] &= 3\sqrt{2} \end{align*}\]

 

Volumen der Pyramide \(ABCDS\) berechnen:

 

\[\begin{align*} V_{ABCDS} &= \frac{1}{3} \cdot A_{ABCD} \cdot \overline{AS} \\[0.8em] &= \frac{1}{3} \cdot 24\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2} \\[0.8em] &= 24 \cdot 2 \\[0.8em] &= 48 \end{align*}\]

 

Das Volumen der Pyramide \(ABCDS\) beträgt 48 VE (Volumeneinheiten).

 

2. Lösungsansatz: Spatprodukt anwenden

Pyramide ABCDS und volumengleiche Teilpyramiden ABDS und BCDS

Die linear unabhängigen Vektoren \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\) und \(\overrightarrow{AS}\) legen die Pyramide \(ABDS\) mit der Grundfläche \(ABD\) fest. Das Dreieck \(ABD\) und das Dreieck \(BCD\) sind zueinander kongruent und besitzen somit den gleichen Flächeninhalt. Die Strecke \([AS]\) ist die Höhe von der Pyramide \(ABDS\) und von der Pyramide \(BCDS\). Die Pyramiden \(ABDS\) und \(BCDS\) haben demnach den gleichen Volumeninhalt.

 

Das Volumen der Pyramide \(ABDS\) lässt sich mithilfe des Spatprodukts berechnen:

Spatprodukt

Anwendung des Vekorprodukts - Spatprodukt (vgl. Merkhilfe)

Volumen eines Spats

\[V_{\text{Spat}} = \left| \left( \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \right) \circ \overrightarrow{c} \; \right|\]

Volumen einer dreiseitigen Pyramide

\[V_{\text{Pyramide}} = \frac{1}{6} \left| \left( \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \right) \circ \overrightarrow{c} \; \right|\]

Spatprodukt, Spatvolumen, Pyramidenvolumen

\[V_{ABDS} = \frac{1}{6} \cdot \left| \overrightarrow{AS} \circ \left( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} \right) \right|\]

 

\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}, \enspace \overrightarrow{AD} = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}\) (siehe Teilaufgabe 2a)

\(\overrightarrow{AS} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix}\) (siehe 1. Lösungsansatz)

Vektorprodukt

Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

Das Vektorprodukt \(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\) zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) erzeugt einen neuen Vektor \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\) mit den Eigenschaften:

\(\overrightarrow{c}\) ist sowohl zu \(\overrightarrow{a}\) als auch zu \(\overrightarrow{b}\) senkrecht.

\[\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{c} \perp \overrightarrow{a}, \enspace \overrightarrow{c} \perp \overrightarrow{b}\]

Der Betrag des Vektorprodukts zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) ist gleich dem Produkt aus den Beträgen der Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) und dem Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels \(\varphi\).

\[\vert \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \vert = \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert \cdot \sin{\varphi} \quad (0^{\circ} \leq \varphi \leq 180^{\circ})\]

Die Vektoren \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) und \(\overrightarrow{c}\) bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem. Rechtehandregel: Weist \(\overrightarrow{a}\) in Richtung des Daumens und \(\overrightarrow{b}\) in Richtung des Zeigefingers, dann weist \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\) in Richtung des Mittelfingers.

Berechnung eines Vektorprodukts im \(\boldsymbol{\mathbb R^{3}}\) (vgl. Merkhilfe)

\[\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin {pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} a_2 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_2 \\ a_3 \cdot b_1 - a_1 \cdot b_3 \\ a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1 \end {pmatrix}\]

Skalarprodukt

Skalarprodukt

Unter dem Skalarprodukt \(\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b}\) zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) versteht man das Produkt aus den Beträgen der beiden Vektoren und dem Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels \(\varphi\).

\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert \cdot \cos{\varphi} \quad (0^{\circ} \leq \varphi \leq 180^{\circ})\]

Berechnung eines Skalarprodukts im \(\boldsymbol{\mathbb R^{3}}\) (vgl. Merkhilfe)

\[\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{pmatrix} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{3}\]

\[\begin{align*}V_{ABCDS} &= V_{ABDS} + V_{BCDS} \\[0.8em] &= 2 \cdot V_{ABDS} \\[0.8em] &= 2 \cdot  \cdot \frac{1}{6} \cdot \left| \overrightarrow{AS} \circ \left( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} \right) \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{3} \cdot \left| \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} \circ \left[ \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} \right] \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{3} \cdot \left| \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 4 & \cdot & 0 & - & 2 & \cdot & (-4) \\ 2 & \cdot & 4 & - & 4 & \cdot & 0 \\ 4 & \cdot & (-4) & - & 4 & \cdot & 4 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{3} \cdot \left| \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 8 \\ 8 \\ -32 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{3} \cdot \vert 1 \cdot 8 + 1 \cdot 8 + (-4) \cdot (-32) \vert \\[0.8em] &= \frac{1}{3} \cdot 144 \\[0.8em] &= 48 \end{align*}\]

 

Das Volumen der Pyramide \(ABCDS\) beträgt 48 VE (Volumeneinheiten).