Begründen Sie rechnerisch, dass die Skifahrerin das Tor tatsächlich durchquert.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe f
Es ist nachzuweisen, dass sich die Gerade \(g_{0{,}8}\) (gerade Fahrlinie der Skifahrerin) und die Strecke \([AB]\) (Tor) in einem gemeinsamen Punkt schneiden (vgl. Teilaufgabe e).
\[g_{0{,}8} \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 0\\0\\10 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1{,}8\\0{,}2\\-1 \end{pmatrix}, \; \lambda \in \mathbb R\]
Strecke \([AB]\) in Parameterform:
Als Aufpunkt wird beispielsweise der Punkt \(A\) und als Richtungsvektor \(\overrightarrow{AB}\) gewählt. Wichtig ist, dass der gewählte Parameter nur Werte von \(\textcolor{#cc071e}{0}\) bis \(\textcolor{#cc071e}{1}\) annehmen darf.
\(A(8|0|6)\), \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -1\\1\\0 \end{pmatrix}\) (vgl. Teilaufgabe a)
Gleichung einer Gerade / Strecke in Parameterform
Jede Gerade \(g\) kann durch eine Gleichung in der sogenannten Parameterform
\(g \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{u} \enspace\) mit dem Parameter \(\lambda \in \mathbb R\) beschrieben werden.
Dabei ist \(\overrightarrow{A}\) der Ortsvektor eines Aufpunkts (Stützvektor) und \(\overrightarrow{u}\) ein Richtungsvektor der Gerade \(g\).
Gleichung einer Strecke \([AB]\) in Parameterform:
\[\overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \lambda \cdot \overrightarrow{AB}, \; \textcolor{#cc071e}{\lambda \in [0;1]} \]
\[[AB] \colon \overrightarrow{X} = \overrightarrow{A} + \mu \cdot \overrightarrow{AB},\; \textcolor{#cc071e}{\mu \in [0;1]}\]
\[[AB]\colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 8\\0\\6 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -1\\1\\0 \end{pmatrix},\; \textcolor{#cc071e}{\mu \in [0;1]}\]
Gemeinsamen Punkt der Gerade \(g_{0{,}8}\) und der Strecke \([AB]\) nachweisen:
Hierfür werden die Parameterformen von \(g_{0{,}8}\) und \([AB]\) gleichgesetzt. Koordinatenweise gelesen ergibt sich ein lineares Gleichungssystem. Existiert eine eindeutige Lösung für \(\lambda\) und \(\textcolor{#cc071e}{\mu \in [0;1]}\), schneiden sich die Gerade \(g_{0{,}8}\) und die Strecke \([AB]\).
\[\begin{pmatrix} 0\\0\\10 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1{,}8\\0{,}2\\-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8\\0\\6 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -1\\1\\0 \end{pmatrix}\]
\[\Rightarrow \; \begin{cases} \;\; \, \text{I} \quad 1{,}8\lambda = 8 - \mu \\[0.8em] \,\, \text{II} \quad 0{,}2\lambda = \mu \\[0.8em] \text{III} \quad 10 - \lambda = 6 \; \Leftrightarrow \; \lambda = 4\end{cases}\]
\[\lambda = 4\; \text{in}\;\text{II}\colon \; \mu = 0{,}2 \cdot 4 = 0{,}8\]
\[\begin{align*}\lambda = 4, \; \mu = 0{,}8\; \text{in}\;\text{I}\colon \; 1{,}8 \cdot 4 &= 8 - 0{,}8 \\[0.8em] 7{,}2 &= 7{,}2 \quad (\text{w}) \end{align*}\]
Somit ist \(\lambda = 4\) und \(\textcolor{#cc071e}{\mu = 0{,}8}\) eine eindeutige Lösung des Gleichungssystems. Wegen \(\textcolor{#cc071e}{0 < 0{,}8 < 1}\) schneidet die Gerade \(g_{0{,}8}\) die Strecke \([AB]\) zwischen \(A\) und \(B\). Also durchquert die Skifahrerin das Tor.
