Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an \(G_h\) im Punkt \((-2|h(-2))\). Berechnen Sie den Wert, den das Modell für die Größe des Winkels liefert, den die Blattränder an der Blattspitze einschließen.

(6 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 3b

 

Gleichung der Tangente an \(G_h\) im Punkt \((-2|h(-2))\)

 

1. Lösungsansatz: Allgemeine Geradengleichung

 

\[h(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 4\,; \quad D = \mathbb R\]

\(S_{1}\,(-2|-2)\enspace\) (siehe Teilaufgabe 2a)

Allgemeine Geradengleichung

Allgemeine Geradengleichung

\[y = mx + t\]

Wobei \(m\) die Steigung und \(t\) der \(y\)-Achsenabschnitt der Geraden ist.

\[T\,\colon\,y = m_{T} \cdot x + t\]

 

Steigungsfaktor \(m_{T}\) der Tangente \(T\) berechnen:

Tangentensteigung

Anwendung der Differetialrechnung:

Steigung \(m_{T}\) einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\,(\,x_0\,|\,f(x_0)\,)\)

\[m_{T} = f'(x_0)\]

(vgl. Merkhilfe)

\[m_{T} = h'(-2)\]

 

Erste Ableitung \(h'\) bilden:

 

\[h(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 4\]

Ableitung einer Potenzfunktion

Ableitung einer Potenzfunktion

\[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = rx^{r - 1} \quad (r \in \mathbb R)\]

(vgl. Merkhilfe)

\[\begin{align*}h'(x) &= -\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot x + 2 \\[0.8em] &= -x + 2\end{align*}\]

 

\[m_{T} = h'(-2) = -(-2) + 2 = 4\]

 

\(y\)-Achsenabschnitt \(t\) berechnen:

 

\[T\,\colon\,y = 4x + t\]

\[S_{1}\,(-2|-2)\]

 

\[\begin{align*} S_{1} \in T\,\colon\, -2 &= 4 \cdot (-2) + t \\[0.8em] -2 &= -8 + t & &| +8 \\[0.8em] 6 &= t \end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad T\,\colon\,y = 4x + 6\]

 

2. Lösungansatz: Tangentengleichung

 

\[h(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 4\,; \quad D = \mathbb R\]

\(S_{1}\,(-2|-2)\enspace\) (siehe Teilaufgabe 2a)

Tangentengleichung

Gleichung einer Tangente \(T\) an den Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P\;(x_0|f(x_0)) \):

\[y = f'(x_{0}) \cdot (x - x_{0}) + f(x_{0})\]

\[T\,\colon\, y = h'(x_{0}) \cdot (x - x_{0}) + h(x_{0})\]

 

Erste Ableitung \(h'\) bilden:

 

\[h(x) = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 4\]

Ableitung einer Potenzfunktion

Ableitung einer Potenzfunktion

\[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = rx^{r - 1} \quad (r \in \mathbb R)\]

(vgl. Merkhilfe)

\[\begin{align*}h'(x) &= -\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot x + 2 \\[0.8em] &= -x + 2\end{align*}\]

 

\[h'(x_{0}) = h'(-2) = -(-2) + 2 = 4\]

 

Gleichung der Tangente aufstellen:

 

\[\begin{align*}y &= h'(x_{0}) \cdot (x - x_{0}) + h(x_{0}) \\[0.8em] &= 4 \cdot (x - (-2)) + (-2) \\[0.8em] &= 4x + 8 - 2 \\[0.8em] &= 4x + 6\end{align*}\]

 

\[\Longrightarrow \quad T\,\colon\,y = 4x + 6\]

Tangente T an den Graphen der Funktion h im Punkt S₁(-2|-2)

Tangente \(T\) an \(G_h\) im Punkt \(S_{1}(-2|-2)\)

 

Wert, den das Modell für die Größe des Winkels liefert, den die Blattränder an der Blattspitze einschließen

 

Es sei \(\varphi\) das Maß des Winkels, den die Blattränder im Modell an der Blattspitze einschließen.

Maß φ des Winkels, den die Blattränder im Modell an der Blattspitze einschließen; Steigungswinkel α der Tangente T an den Graphen der Funktion h im Punkt S₁(-2|-2)

Der Winkel \(\varphi\), den die Blattränder im Modell an der Blattspitze einschließen, ist gleich dem spitzen Winkel, den die Tangente \(T\) und die an der Winkelhalbierenden \(w\) gespiegelte Bildtangente \(T'\) einschließen. Der Wert des Winkels \(\varphi\) lässt sich mithilfe des Steigungswinkel \(\alpha\) der Tangente \(T\) berechnen.

 

\[\varphi = 2 \cdot (\alpha - 45^{\circ})\]

 

Steigungswinkel \(\alpha\) der Tangente \(T\) berechnen:

Steigungswinkel einer Gerade

Steigungswinkel \(\alpha\) einer Gerade \(g \colon y = m \cdot x +t\)

\[\tan \alpha = m \qquad \alpha \neq 90^\circ\]

\[m_{T} = 4\enspace\]

 

\[\begin{align*}\tan{\alpha} &= m_{T} \\[0.8em] \tan{\alpha} &= 4 & &| \; \tan^{-1}(\dots) \\[0.8em] \alpha &\approx 75{,}96^{\circ}\end{align*}\]

 

Winkel \(\varphi\) berechnen:

 

\[\begin{align*}\varphi &= 2 \cdot (\alpha - 45^{\circ}) \\[0.8em] &= 2 \cdot (75{,}96^{\circ}- 45^{\circ}) \\[0.8em] &= 61{,}92^{\circ}\end{align*}\]

 

Die Größe des Winkels, den die Blattränder im Modell an der Blattspitze einschließen, beträgt 61,92°.