Winkelhalbierende

Der Graph der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(h\,\colon x \mapsto -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 4\) ist die Parabel \(G_h\). Der Graph der in Aufgabe 1e betrachteten Umkehrfunktion \(f^{-1}\) ist ein Teil dieser Parabel.

Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von \(G_h\) mit der durch die Gleichung \(y = x\) gegebenen Winkelhalbierenden \(w\) des I. und III. Quadranten.

(Teilergebnis: x-Koordinaten der Schnittpunkte: -2 und 4)

(3 BE)

Zeichnen Sie die Parabel \(G_h\) - unter Berücksichtigung des Scheitels - im Bereich \(-2 \leq x \leq 4\) in Ihre Zeichnung aus Aufgabe 1d ein. Spiegelt man diesen Teil von \(G_h\) an der Winkelhalbierenden \(w\), so entsteht eine herzförmige Figur; ergänzen Sie Ihre Zeichnung dementsprechend.

(4 BE)

Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an \(G_h\) im Punkt \((-2|h(-2))\). Berechnen Sie den Wert, den das Modell für die Größe des Winkels liefert, den die Blattränder an der Blattspitze einschließen.

(6 BE)

Die Funktion \(f^* \colon\mapsto f(x)\) mit Definitionsbereich \(]5;+\infty[\) unterscheidet sich von der Funktion \(f\) nur hinsichtlich des Definitionsbereichs. Begründen Sie, dass die Funktion \(f\) nicht umkehrbar ist, die Funktion \(f^*\) dagegen schon. Zeichnen Sie den Graphen der Umkehrfunktion von \(f^*\) in die Abbildung ein.

(4 BE)

Die Funktion \(h^{*}\colon x \mapsto h(x)\) mit Definitionsmenge \([1;+\infty[\) unterscheidet sich von der Funktion \(h\) nur hinsichtlich der Definitionsmenge. Im Gegensatz zu \(h\) ist die Funktion \(h^{*}\) umkehrbar.

Geben Sie die Definitionsmenge und die Wertemenge der Umkehrfunktion \(h^{*}\) an. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts \(S\) des Graphen von \(h^{*}\) und der Geraden mit der Gleichung \(y = x\).

(Teilergebnis: \(x\)-Koordinate des Schnittpunkts: \(e^{\frac{4}{3}}\))

(4 BE)

Zeichnen Sie den Graphen der Umkehrfunktion von \(h^{*}\) unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse, insbesondere der Lage von Punkt \(S\), in Abbildung 1 ein.

(3 BE)

Es gibt Tangenten an den Graphen von \(f\), die parallel zur Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten sind. Ermitteln Sie anhand des Graphen \(\mathbf{G_{f'}}\) der Ableitungsfunktion \(f'\) in der Abbildung 1 Näherungswerte für die \(x\)-Koordinaten derjenigen Punkte, in denen der Graph von \(f\) jeweils eine solche Tangente hat.

(2 BE)

Gegeben ist die Funktion \(g\) mit \(g(x) = 0{,}7 \cdot e^{0{,}5x} - 0{,}7\) und \(x \in \mathbb R\). Die Funktion \(g\) ist umkehrbar. Die Abbildung 2 zeigt den Graphen \(G_{g}\) von \(g\) sowie einen Teil des Graphen \(G_{h}\) der Umkehrfunktion \(h\) von \(g\).

Zeichnen Sie in die Abbildung 2 den darin fehlenden Teil von \(G_{h}\) ein.

(2 BE)

Betrachtet wird das von den Graphen \(G_{g}\) und \(G_{h}\) eingeschlossene Flächenstück. Schraffieren Sie den Teil dieses Flächenstücks, dessen Inhalt mit dem Term \(\displaystyle 2 \cdot \int_{0}^{2{,}5} (x - g(x))dx\) berechnet werden kann.

(2 BE)