Die Funktion \(h^{*}\colon x \mapsto h(x)\) mit Definitionsmenge \([1;+\infty[\) unterscheidet sich von der Funktion \(h\) nur hinsichtlich der Definitionsmenge. Im Gegensatz zu \(h\) ist die Funktion \(h^{*}\) umkehrbar.
Geben Sie die Definitionsmenge und die Wertemenge der Umkehrfunktion \(h^{*}\) an. Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts \(S\) des Graphen von \(h^{*}\) und der Geraden mit der Gleichung \(y = x\).
(Teilergebnis: \(x\)-Koordinate des Schnittpunkts: \(e^{\frac{4}{3}}\))
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1d
Definitions- und Wertemenge einer Umkehrfunktion, Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen
\[h^{*}(x) = h(x) = 3x \cdot (-1 + \ln{x}); \; D_{h^{*}} = [1;+\infty[\]
Definitionsmenge und Wertemenge der Umkehrfunktion von \(h^{*}\)
Umkehrfunktion \(\boldsymbol{f^{-1}}\) einer Funktion \(\boldsymbol{f}\)
Bestimmung des Funktionsterms \(\boldsymbol{f^{-1}(x)}\)
1. Funktionsgleichung \(\,y = f(x)\,\) nach \(\,x\,\) auflösen
2. Variablen tauschen: \(\;x \longleftrightarrow y \quad \Longrightarrow \quad y = f^{-1}(x)\)
Es gilt: \(\;D_{f^{-1}} = W_f\;\) und \(\; W_{f^{-1}} = D_f\)
Graph der Umkehrfunktion
Die Graphen einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion sind zueinander symmetrisch bzgl. der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten mit der Gleichung \(y = x\).
Die Definitionsmenge der Umkehrfunktion \(h^{*^{-1}}\) ist gleich der Wertemenge der Funktion \(h^{*}\).
Die Wertemenge der Umkehrfunktion \(h^{*^{-1}}\) ist gleich der Definitionsmenge der Funktion \(h^{*}\).
Definitionsmenge und Wertemenge der Funktion \(h^{*}\):
\(D_{h^{*}} = [1;+\infty[\) (vgl. Angabe)
In Teilaufgabe 1b wurde gezeigt, dass der Funktionswert \(h(1)\) die untere Grenze der Wertemenge der Funktion \(h\) festlegt.
Da mit \(h^{*}(x) = h(x)\) und \(D_{h^{*}} = [1;+\infty[\) gilt \(h^{*}(1) = h(1)\), ist die Wertemenge der Funktion \(h^{*}\) gleich der Wertemenge der Funktion \(h\).
\[W_{h^{*}} = W_{h} = [-3;+\infty[\]
Definitionsmenge und Wertemenge der Umkehrfunktion \(h^{*^{-1}}\) der Funktion \(h^{*}\):
\[D_{h^{*^{-1}}} = W_{h^{*}} = [-3;+\infty[\]
\[W_{h^{*^{-1}}} = D_{h^{*}} = [1;+\infty[\]
Koordinaten des Schnittpunkts \(S\) des Graphen von \(h^{*}\) und der Geraden mit der Gleichung \(y = x\)
\[h^{*}(x) = 3x \cdot (-1 + \ln{x})\]
\[y = x\]
Für die Berechnung der \(x\)-Koordinate des Schnittpunkts \(S\) des Graphen der Funktion \(h^{*}\) und der Geraden mit der Gleichung \(y = x\) (Winkelhalbierende des ersten und dritten Quadranten) werden die Funktionsterme gleichgesetzt und die Gleichung nach \(x\) aufgelöst.
\[\begin{align*} h^{*}(x) &= x \\[0.8em] 3x \cdot (-1 + \ln{x}) &= x & &| : 3x \; (x \neq 0) \\[0.8em] -1 + \ln{x} &= \frac{1}{3} & &| + 1 \\[0.8em] \ln{x} &= \frac{4}{3} & &| \; e^{(\dots)} \; \text{(zur Basis} \; e \; \text{potenzieren)} \\[0.8em] e^{\ln{x}} &= e^{\frac{4}{3}} & &| \; e^{\ln{x}} = x \; \left( \text{allg.:} \; a^{\log_{a}{x}} = x \right) \\[0.8em] x &= e^{\frac{4}{3}} \end{align*}\]
Der Graph der Funktion \(h^{*}\) schneidet die Gerade mit der Gleichung \(y = x\) an der Stelle \(x_{S} = e^{\frac{4}{3}}\).
\(y\)-Koordinate des Schnittpunkts \(S\):
Entsprechend der Geradengleichung \(y = x\) gilt \(y_{S} = x_{S}\).
\[\Longrightarrow \quad S\left( e^{\frac{4}{3}} \Big| e^{\frac{4}{3}} \right)\]
