Nun wird der Würfel \(n\)-mal geworfen, wobei \(n\) größer als \(2\) ist. Ermitteln Sie einen Term, mit dem man die Wahrscheinlichkeit für das folgende Ereignis berechnen kann: „Das Produkt der \(n\) Zahlen ist \(2\), \(3\) oder \(5\)."
(3 BE)
Lösung zu Teilaufgabe b
Die drei Produkte \(2\), \(3\) oder \(5\) werden jeweils nur dann erzielt, wenn von \(n\) gewürfelten Zahlen genau eine die Zahl \(2\) bzw. \(3\) bzw. \(5\) ist und \(n-1\) Einsen gewürfelt werden.
Es gibt \(n\) Möglichkeiten, bei \(n\) Würfen genau eine \(2\) bzw. \(3\) bzw. \(5\) zu erzielen.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, eine der Zahlen \(2\), \(3\) oder \(5\) zu würfeln, beträgt jeweils \(\frac{1}{6}\). Die Wahrscheinlichkeit dafür, \(n-1\) Einsen zu würfeln, beträgt \(\left(\frac{1}{6}\right)^{n-1}\).
Somit ist
\[3 \cdot n \cdot \frac{1}{6} \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^{n-1} = 3 \cdot n\ \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^{n}\]
ein Term, mit dem man die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Das Produkt der \(n\) Zahlen ist \(2\), \(3\) oder \(5\)." berechnen kann.
Ergänzende Darstellung (nicht verlangt)
\[ \begin{array}{c}\begin{array}{ccc} \left.\begin{aligned} \{&(\textcolor{#cc071e}{2};\smash{\overbrace{1;1; \dots;1;1;1}^{n-1\;\text{Einsen}}} \vphantom{\overbrace{}^{n-1}});\\[0.8em]&(1;\textcolor{#cc071e}{2};1; \dots;1;1;1);\\[0.8em] &(1;1;\textcolor{#cc071e}{2}; \dots;1;1;1); \\ &\qquad \quad \enspace \, \vdots \\ &(1;1;1; \dots;\textcolor{#cc071e}{2};1;1);\\[0.8em] &(1;1;1; \dots;1;\textcolor{#cc071e}{2};1); \\[0.8em] &(1;1;1; \dots;1;1;\textcolor{#cc071e}{2})\} \end{aligned} \right\} \, \textcolor{#cc071e}{n} & \left.\begin{aligned} \{&(\textcolor{#cc071e}{3};\overbrace{1;1; \dots;1;1;1}^{n-1\;\text{Einsen}}); \\[0.8em]&(1;\textcolor{#cc071e}{3};1; \dots;1;1;1);\\[0.8em] &(1;1;\textcolor{#cc071e}{3}; \dots;1;1;1); \\ &\qquad \quad \enspace \, \vdots \\ &(1;1;1; \dots;\textcolor{#cc071e}{3};1;1);\\[0.8em] &(1;1;1; \dots;1;\textcolor{#cc071e}{3};1); \\[0.8em] &(1;1;1; \dots;1;1;\textcolor{#cc071e}{3})\} \end{aligned} \right\} \, \textcolor{#cc071e}{n} & \left. \begin{aligned} \{&(\textcolor{#cc071e}{5};\overbrace{1;1; \dots;1;1;1}^{n-1\;\text{Einsen}}); \\[0.8em]&(1;\textcolor{#cc071e}{5};1; \dots;1;1;1);\\[0.8em] &(1;1;\textcolor{#cc071e}{5}; \dots;1;1;1); \\ &\qquad \quad \enspace \, \vdots \\ &(1;1;1; \dots;\textcolor{#cc071e}{5};1;1);\\[0.8em] &(1;1;1; \dots;1;\textcolor{#cc071e}{5};1); \\[0.8em] &(1;1;1; \dots;1;1;\textcolor{#cc071e}{5})\} \end{aligned} \right\} \, \textcolor{#cc071e}{n} \end{array} \\[-1em] \underbrace{\phantom{ \begin{array}{ccc} \{(1;\textcolor{#cc071e}{2};1; \dots;1;1;1)\}\qquad \;\; & \{(1;\textcolor{#cc071e}{2};1; \dots;1;1;1)\}\qquad \;\; & \{(1;\textcolor{#cc071e}{2};1; \dots;1;1;1)\} \end{array} }}_{\Large{\textcolor{#0087c1}{3} \; \text{betrachtete Produkte}}} \\[0.8em] \Large{\Downarrow} \\[0.8em] \displaystyle \textcolor{#0087c1}{3} \cdot \textcolor{#cc071e}{n} \cdot \textcolor{#cc071e}{\frac{1}{6}} \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^{n-1} \end{array}\]
