Die Funktion \(g\) ist umkehrbar. Die Umkehrfunktion \(g^{-1}\) von \(g\) ist in \([1;+\infty[\) definiert. Bestimmen Sie einen Term von \(g^{-1}\).
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2b
\[g(x) = \sqrt{x} + 1; \; D_g = \mathbb R_0^+\]
Umkehrfunktion \(\boldsymbol{f^{-1}}\) einer Funktion \(\boldsymbol{f}\)
Bestimmung des Funktionsterms \(\boldsymbol{f^{-1}(x)}\)
1. Funktionsgleichung \(\,y = f(x)\,\) nach \(\,x\,\) auflösen
2. Variablen tauschen: \(\;x \longleftrightarrow y \quad \Longrightarrow \quad y = f^{-1}(x)\)
Es gilt: \(\;D_{f^{-1}} = W_f\;\) und \(\; W_{f^{-1}} = D_f\)
Graph der Umkehrfunktion
Die Graphen einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion sind zueinander symmetrisch bzgl. der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten mit der Gleichung \(y = x\).
\[\begin{align*}y &= g(x) &&| \;\text{nach}\;x\;\text{auflösen} \\[0.8em] y &= \sqrt{x} + 1 &&| - 1\; \text{(Wurzelterm isolieren)} \\[0.8em] y - 1 &= \sqrt{x} &&| \; (\dots)^2 \;\text{(Quadrieren)} \\[0.8em] (y - 1)^2 &= x &&| \; x \leftrightarrow y\;\text{(Variablentausch)} \\[0.8em] y &= (x - 1)^2 &&| \; y = g^{-1}(x) \\[0.8em] g^{-1}(x) &= (x - 1)^2 &&(D_{g^{-1}} = [1;+\infty[)\end{align*}\]
Anmerkung:
Es ist ebenso möglich, zuerst die Variablen zu tauschen und anschließend die Gleichung \(x = \sqrt{y} + 1\) nach \(y\) aufzulösen.
