Abiturlösungen Mathematik Bayern 2019

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Das Glücksrad wird zweimal gedreht. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der erzielten Zahlen mindestens 11 beträgt.

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

Glücksrad mit beispielhafter Beschriftung der fünf gleich großen Sektoren

Glücksrad mit beispielhafter Beschriftung der fünf gleich großen Sektoren.

 

\[P(\{0\}) = \frac{1}{5}; \; P(\{1\}) = \frac{1}{5}; \; P(\{2\}) = \frac{1}{5}; P(\{9\}) = \frac{2}{5}\]

 

Das Ereignis „Die Summe der erzielten Zahlen ist mindestens 11" enthält die Ergebnisse \(\{2, 9\}\), \(\{9, 2\}\) und \(\{9, 9\}\).

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „Die Summe der erzielten Zahlen ist mindestens 11" ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die zu dem Ereignis gehören.

 

\[\begin{align*}P(\text{„Summe ist mind. 11"}) &= P(\{2, 9\}) + P(\{9, 2\}) + P(\{9, 9\}) \\[0.8em] &= \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{5} + \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{5} + \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} \\[0.8em]&=  \frac{2}{25} + \frac{2}{25} + \frac{4}{25} \\[0.8em] &= \frac{8}{25} \end{align*}\]

 

Veranschaulichung mithilfe eines Baumdiagramms:

Veranschaulichung: Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „Die Summe der Erzielten Zahlen ist mindestens 11" mithilfe eines Baumdiagramms

Relevante Pfade des Ereignisses „Die Summe der erzielten Zahlen ist mindestens 11"

 

Mithilfe der 1. und 2. Pfadregel gilt:

Baumdiagramm - Pfadregeln

Pfadregeln

Verzweigungsregel (Knotenregel)

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten an den Ästen, die von einem Knoten ausgehen, ist gleich eins.

1. Pfadregel (Produktregel)

Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, der zu dem Ergebnis führt.

2. Pfadregel (Summenregel)

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse, die zu diesem Ereignis gehören.

\[\begin{align*}P(\text{„Summe ist mind. 11"}) &= P(\{2, 9\}) + P(\{9, 2\}) + P(\{9, 9\}) \\[0.8em] &= \underbrace{\underbrace{\frac{1}{5} \cdot \frac{2}{5}}_{\text{1. Pfadregel}} + \underbrace{\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{5}}_{\text{1. Pfadregel}} +  \underbrace{\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5}}_{\text{1. Pfadregel}}}_{\text{2. Pfadregel}} \\[0.8em]&=  \frac{2}{25} + \frac{2}{25} + \frac{4}{25} \\[0.8em] &= \frac{8}{25} \end{align*}\]

2.3.1 Lagebeziehung von Geraden

2.3.1 Lagebeziehung von Geraden
2.3.1 Lagebeziehung von Geraden