Abiturlösungen Mathematik Bayern 2020

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Weisen Sie nach, dass die Gerade \(g\) die Kugel \(K\) im Punkt \(T(3|12|-2)\) berührt.

(5 BE)

Lösung zu Teilaufgabe d

 

1. Möglichkeit: Berührpunkt mit Kugelgleichung bestimmen

Kugelgleichung in Koordinatendarstellung aufstellen

\(\textcolor{#cc071e}{M(-13|20|0)}\), \(\textcolor{#0087c1}{r = 18}\) (vgl. Teilaufgabe c)

Kugelgleichung

Kugelgleichung

Eine Kugel mit dem Mittelpunkt \(M(m_{1}|m_{2}|m_{3})\) und dem Radius \(r\) wird beschrieben durch:

Vektordarstellung

\[(\overrightarrow{X} - \overrightarrow{M})^{2} = r^{2}\]

Koordinatendarstellung

\[(x_{1} - m_{1})^{2} + (x_{2} - m_{2})^{2} + (x_{3} - m_{3})^{2} = r^{2}\]

\[\begin{align*} &K \colon (x_{1} - \textcolor{#cc071e}{m_{1}})^{2} + (x_{2} - \textcolor{#cc071e}{m_{2}})^{2} + (x_{3} - \textcolor{#cc071e}{m_{3}})^{2} = \textcolor{#0087c1}{r}^{2} \\[0.8em] &K \colon (x_{1} - \textcolor{#cc071e}{(-13)})^{2} + (x_{2} - \textcolor{#cc071e}{20})^{2} + (x_{3} - \textcolor{#cc071e}{0})^{2} = \textcolor{#0087c1}{18}^{2} \\[0.8em] &K \colon (x_{1} + 13)^{2} + (x_{2} - 20)^{2} + x_{3}^{2} = 18^{2} \end{align*}\]

 

Gemeinsame Punkte der Geraden \(g\) und der Kugel \(K\) berechnen

Hierfür werden die Koordinaten des Ortsvektors \(X\) der Gleichung der Geraden \(g\) in die Gleichung der Kugel \(K\) eingesetzt und diese nach dem Parameter \(\lambda\) aufgelöst.

 

\[\begin{align*} g \colon \overrightarrow{X} &= \begin{pmatrix} 3 \\ 12 \\ -2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \\ -4 \end{pmatrix}, \; \lambda \in \mathbb R \\[0.8em] g \colon \overrightarrow{X} &= \begin{pmatrix} \textcolor{#89ba17}{3 + 5\lambda} \\ \textcolor{#89ba17}{12 + 11\lambda} \\ \textcolor{#89ba17}{-2 - 4\lambda} \end{pmatrix}, \; \lambda \in \mathbb R \end{align*}\]

\[K \colon (x_{1} + 13)^{2} + (x_{2} - 20)^{2} + x_{3}^{2} = 18^{2}\]

 

\[\begin{align*} g \cap K \colon (\textcolor{#89ba17}{3 + 5\lambda} + 13)^{2} + (\textcolor{#89ba17}{12 + 11\lambda} - 20)^{2} + (\textcolor{#89ba17}{-2 - 4\lambda})^{2} &= 18^{2} \\[0.8em] (16 + 5\lambda)^{2} + (-8 + 11\lambda)^{2} + (-2 - 4\lambda)^{2} &= 18^{2} \\[0.8em] 256 + 160\lambda + 25\lambda^{2} + 64 - 176 + 121\lambda^{2} + 4 + 16\lambda + 16\lambda^{2} &= 18^{2} \\[0.8em] 162\lambda^{2} + 324 &= 18^{2} \\[0.8em] 162\lambda^{2} + 324 &= 324 &&| - 324 \\[0.8em] 162\lambda^{2} &= 0 &&| : 162 \\[0.8em] \lambda^{2} &= 0 &&| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] \lambda &= 0\end{align*}\]

 

Da die quadratische Gleichung nur die eine Lösung \(\lambda = 0\) hat, hat die Gerade \(g\) und die Kugel \(K\) genau einen gemeinsamen Punkt, also einen Berührpunkt.

 

In die Gleichung von \(g\) eingesetzt, liefert der Parameterwert \(\textcolor{#89ba17}{\lambda = 0}\) den Ortsvektor \(T\) des Berührpunktes \(T\).

 

\[T \in g \colon \, \overrightarrow{T} = \begin{pmatrix} 3 \\ 12 \\ -2 \end{pmatrix} + \textcolor{#89ba17}{0} \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 12 \\ -2 \end{pmatrix}\]

\(\Rightarrow \enspace T(3|12|-2)\) (Aufpunkt von \(g\) ist Berührpunkt von \(g\) und \(K\))

 

2. Möglichkeit: Bedingung \(r = \overline{MT}\) anwenden

Die Gerade g berührt die Kugel K mit Mittelpunkt M im Punkt T.

Ist \(T\) ein gemeinsamer Punkt (Berührpunkt oder Schnittpunkt) der Geraden \(g\) und der Kugel \(K\), so gilt für den Kugelradius: \(r = \overline{MT} = 18\) (vgl. Teilaufgabe c).

Der Punkt \(T\) kann allgemein als Punkt der Geraden \(g\) beschrieben werden.

 

\[T \in g \colon \, \overrightarrow{T} = \begin{pmatrix} 3 \\ 12 \\ -2 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \textcolor{#89ba17}{3 + 5\lambda} \\ \textcolor{#89ba17}{12 + 11\lambda} \\ \textcolor{#89ba17}{-2 - 4\lambda} \end{pmatrix}\]

 

Damit lässt sich die Bedingung \(r = \overline{MT} = \vert \overrightarrow{MT} \vert = 18\) formulieren. Es ergibt sich ein quadratische Gleichung für den Parameter \(\lambda\).

Betrag eines Vektors

Betrag eines Vektors

\[ \vert \overrightarrow{a} \vert = \sqrt{\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{a}} = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}\]

(vgl. Merkhilfe)

\[\begin{align*} r &= 18 \\[0.8em] \overline{MT} &= 18 \\[0.8em] \vert \overrightarrow{MT} \vert &= 18 \\[0.8em] \vert \overrightarrow{T} - \overrightarrow{M} \vert &= 18 \\[0.8em] \left| \begin{pmatrix} \textcolor{#89ba17}{3 + 5\lambda} \\ \textcolor{#89ba17}{12 + 11\lambda} \\ \textcolor{#89ba17}{-2 - 4\lambda} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -13 \\ 20 \\ 0  \end{pmatrix} \right| &= 18 \\[0.8em] \left| \begin{pmatrix} 16 + 5\lambda \\ -8 + 11\lambda \\ -2 - 4\lambda \end{pmatrix} \right| &= 18 \\[0.8em] \sqrt{(16 + 5\lambda)^{2} + (-8 + 11\lambda)^{2} + (-2 - 4\lambda)^{2}} &= 18 &&|\; (\dots)^{2}\; \text{(Quadrieren)} \\[0.8em] (16 + 5\lambda)^{2} + (-8 + 11\lambda)^{2} + (-2 - 4\lambda)^{2} &= 18^{2} \\[0.8em]256 + 160\lambda + 25\lambda^{2} + 64 - 176 + 121\lambda^{2} + 4 + 16\lambda + 16\lambda^{2} &= 18^{2} \\[0.8em] 162\lambda^{2} + 324 &= 18^{2} \\[0.8em] 162\lambda^{2} + 324 &= 324 &&| - 324 \\[0.8em] 162\lambda^{2} &= 0 &&| : 162 \\[0.8em] \lambda^{2} &= 0 &&| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] \lambda &= 0\end{align*}\]

 

Da die quadratische Gleichung nur die eine Lösung \(\lambda = 0\) hat, hat die Gerade \(g\) und die Kugel \(K\) genau einen gemeinsamen Punkt, also einen Berührpunkt.

 

In die Gleichung von \(g\) eingesetzt, liefert der Parameterwert \(\textcolor{#89ba17}{\lambda = 0}\) den Ortsvektor \(T\) des Berührpunktes \(T\).

 

\[T \in g \colon \, \overrightarrow{T} = \begin{pmatrix} 3 \\ 12 \\ -2 \end{pmatrix} + \textcolor{#89ba17}{0} \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 12 \\ -2 \end{pmatrix}\]

\(\Rightarrow \enspace T(3|12|-2)\) (Aufpunkt von \(g\) ist Berührpunkt von \(g\) und \(K\))

2.3.1 Lagebeziehung von Geraden

2.3.1 Lagebeziehung von Geraden
2.3.1 Lagebeziehung von Geraden