In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte \(A(0|0|1)\), \(B(2|6|1)\), \(C(-4|8|5)\) und \(D(-6|2|5)\) gegeben. Sie liegen in einer Ebene \(E\) und bilden ein Viereck \(ABCD\), dessen Diagonalen sich im Punkt \(M\) schneiden.
Begründen Sie, dass die Gerade \(AB\) parallel zur \(x_{1}x_{2}\)-Ebene verläuft.
(1 BE)
Lösung zu Teilaufgabe a
Lage einer Geraden im Koordinatensystem
\(A(0|0|1)\), \(B(2|6|1)\)
1. Möglichkeit: Koordinatenvergleich
Die Punkte \(A(0|0|1)\) und \(B(2|6|1)\) haben die gleiche \(x_{3}\)-Koordinate. Keiner der Punkte \(A\) und \(B\) erfüllt die Gleichung der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene \(x_{3} = 0\). Folglich verläuft die Gerade \(AB\) (echt) parallel zur \(x_{1}x_{2}\)-Ebene.
\[\left. \begin{align*} &x_{3_{A}} = x_{3_{B}} \\[0.8em] &A,B \notin x_{1}x_{2}\text{-Ebene} \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace AB \parallel x_{1}x_{2}\text{-Ebene}\]
2. Möglichkeit: Lagebeziehung Gerade - Ebene
Die Gerade \(AB\) verläuft parallel zur \(x_{1}x_{2}\)-Ebene, wenn der Richtungsvektor der Geraden \(AB\) und der Normalenvektor der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene zueinander senkrecht sind, und außerdem keiner der Punkte \(A\) und \(B\) in der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene liegt.
Keiner der Punkte \(A(0|0|1)\) und \(B(2|6|1)\) erfüllt die Gleichung der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene \(x_{3} = 0\).
\[A,B \notin x_{1}x_{2}\text{-Ebene}\]
Richtungsvektor \(\overrightarrow{AB}\) der Gerden \(AB\) bestimmen:
\[\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}\]
Normalenvektor der \(x_{1}x_{2}\text{-Ebene}\):
Beispielsweise ist \(\overrightarrow{n}_{x_{1}x_{2}} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) ein Normalenvektor der \(x_{1}x_{2}\)-Ebene.
Orthogonalität des Richtungsvektors \(\overrightarrow{AB}\) und des Normalenvektors \(\overrightarrow{n}_{x_{1}x_{2}}\) nachweisen:
Anwendung des Skalarprodukts:
Orthogonale (zueinander senkrechte) Vektoren (vgl. Merkhilfe)
\[\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b} \; \Leftrightarrow \; \overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} \quad (\overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0},\; \overrightarrow{b} \neq \overrightarrow{0})\]
\[\begin{align*}\overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{n}_{x_{1}x_{2}} &= \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \\[0.8em] &= 2 \cdot 0 + 6 \cdot 0 + 0 \cdot 1 \\[0.8em] &= 0 \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad \overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{n}_{x_{1}x_{2}}\]
Zusammenfassung:
\[\left. \begin{align*} &\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{n}_{x_{1}x_{2}} \\[0.8em] &A,B \notin x_{1}x_{2}\text{-Ebene} \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace AB \parallel x_{1}x_{2}\text{-Ebene}\]