Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde bei seinem Einkauf den niedrigsten Rabatt erhält, beträgt \(\sf{\frac{1}{9}}\). Bestimmen Sie, wie viele Kunden mindestens an dem Glücksrad drehen müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % mindestens einer der Kunden den niedrigsten Rabatt erhält.
(4 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 1d
Binomialverteilung: Länge einer Bernoullikette berechnen
Zufallsgröße \(X\): „Höhe des Rabatts in Prozent" (siehe Angabe Aufgabe 1)
\(\displaystyle P(X = 4) = \frac{1}{9}\) (siehe auch Teilaufgabe 1a,b)
Es sei \(Y\) die Zufallsgröße, welche die Anzahl der Kunden beschreibt, die den niedrigsten Rabatt (4 %) erhalten. Es wird nur auf das Ereignis „niedrigster Rabatt" geachtet. Die Trefferwahrscheinlichkeit für das Ereignis „niedrigster Rabatt" ist mit \(\displaystyle p = \frac{1}{9}\) konstant.
Binomialverteilte Zufallsgröße
Für eine Zufallsgröße \(X\), welche bei einer Bernoulli-Kette der Länge \(n\) die Anzahl der Treffer \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) mit der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) angibt, gilt:
Binomialverteilung (vgl. Merkhilfe)
\[P_{p}^{n}(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k} \quad (0 \leq k \leq n)\]
Eine Binomialverteilung ist durch die Parameter \(n\) und \(p\) eindeutig bestimmt und wird durch das Symbol \(B(n:p)\) gekennzeichnet. \(X\) heißt binomialverteilt nach \(B(n;p)\).
Voraussetzung für eine Binomialverteilung
Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können (Bernoulli-Experiment).
Die Zufallsgröße \(Y\) ist nach \(B\Big(n;\frac{1}{9}\Big)\) binomialverteilt.
Gesucht ist die Länge der Bernoullikette \(n\).
Die Aussage „...damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % mindestens einer der Kunden den niedrigsten Rabatt erhält." liefert den Ansatz:
\[P_{\frac{1}{9}}^{n}(Y \geq 1) > 0{,}99\]
Durch die Betrachtung des Gegenereignisses vereinfacht sich der Ansatz und mithilfe der Formel von Bernoulli kann die Ungleichung nach der gesuchten Größe \(n\) aufgelöst werden.
Betrachten des Gegenereignisses (mindestens 1 Treffer)
Wahrscheinlichkeitsberechnungen einer binomialverteilten Zufallsgröße \(X\) der Form „mindestens 1 Treffer" \(P(X \geq 1)\) vereinfachen sich durch die Betrachtung des Gegenereignisses „nicht 0 Treffer":
\[P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)\]
Formel von Bernoulli
Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer bei einer Bernoullikette der Länge \(n\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) für das Eintreten eines betrachteten Ereignisses:
\[P(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}\]
\[k \in \{0,1,\dots,n\}\]
\[\begin{align*} P_{\frac{1}{9}}^{n}(Y \geq 1) &> 0{,}99 & &| \; \text{Gegenereignis formulieren} \\[0.8em] 1 - P^{n}_{\frac{1}{9}}(Y = 0) &> 0{,}99 & &| -1 \\[0.8em] - P^{n}_{\frac{1}{9}}(Y = 0) &> -0{,}01 & &| \cdot (-1) \quad \text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] P^{n}_{\frac{1}{9}}(Y = 0) &< 0{,}01 & &| \; \text{Formel von Bernoulli anwenden} \\[0.8em] \underbrace{\binom{n}{0}}_{1} \cdot \underbrace{\left( \frac{1}{9} \right)^{0}}_{1} \cdot \left( 1 - \frac{1}{9} \right)^{n - 0} &< 0{,}01 \\[0.8em] \left( \frac{8}{9} \right)^{n} &< 0{,}01 & &| \; \text{Logarithmieren, z.B.} \; \ln \\[0.8em] \ln{\left[ \left( \frac{8}{9} \right)^{n} \right]} &< \ln{0{,}01} & &| \; \log_{a}{\big(b^{n}\big)} = n \cdot \log_{a}{b} \\[0.8em] n \cdot \ln{\left( \frac{8}{9} \right)} &< \ln{0{,}01} & &| : \ln{\left( \frac{8}{9} \right)} \quad \text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] n &> \frac{\ln{0{,}01}}{\ln{\left( \frac{8}{9} \right)}} \\[0.8em] n &\gtrapprox 39{,}10 \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad n = 40\]
Es müssen mindestens 40 Kunden am Glücksrad drehen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 99 % mindestens einer der Kunden den niedrigsten Rabatt erhält.
