Berechnen Sie den Abstand des Punktes \(P\,(2|3|-3)\) von \(E\).

(3 BE)

Lösung zu Teilaufgabe 1b

 

\[E\colon \enspace 2x_1 - x_2 + 2x_3 = 4\,; \qquad P\,(2|3|-3)\]

 

Abstand eines Punktes von einer Ebene

Abstand Punkt - Ebene

Abstand eines Punktes von einer Ebene

Für den Abstand \(d(P;E)\) eines Punktes \(P(p_{1}|p_{2}|p_{3})\) zu einer in der Hesseschen Normalenform (HNF) vorliegenden Ebene \(E\) gilt:

Vektordarstellung

\[E \colon \overrightarrow{n}^{0}_{E} \circ (\overrightarrow{X} - \overrightarrow{A}) = 0 \enspace (\text{HNF})\]

\[d(P;E) = \left| \overrightarrow{n}^{0}_{E} \circ (\overrightarrow{P} - \overrightarrow{A}) \right|\]

Koordinatendarstellung

\[E \colon \frac{n_{1}x_{1} + n_{2}x_{2} + n_{3}x_{3} + n_{0}}{\sqrt{n_{1}^{2} + n_{2}^{2} + n_{3}^{2}}} = 0 \enspace (\text{HNF})\]

\[d(P;E) = \left| \frac{n_{1}p_{1} + n_{2}p_{2} + n_{3}p_{3} + n_{0}}{\sqrt{n_{1}^{2} + n_{2}^{2} + n_{3}^{2}}} \right|\]

Dabei ist \(\overrightarrow{n}^{0}_{E} = \dfrac{\overrightarrow{n}_{E}}{\vert \overrightarrow{n}_{E} \vert}\) der Einheitsvektor des Normalenvektors \(\overrightarrow{n}_{E}\) der Ebene \(E\).

\[E\colon \enspace 2x_1 - x_2 + 2x_3 = 4 \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow {n}_E = \begin {pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end {pmatrix}\]

 

Betrag des Normalenvektors der Ebene \(E\):

Betrag eines Vektors

Betrag eines Vektors

\[ \vert \overrightarrow{a} \vert = \sqrt{\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{a}} = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}\]

(vgl. Merkhilfe)

\[\vert \overrightarrow {n}_E \vert = \left| \begin {pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \end {pmatrix} \right| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3\]

 

Hesse'sche Normalenform der Ebene \(E\):

 

\[E^{HNF}\colon \enspace \frac{2x_1 - x_2 + 2x_3 - 4}{3} = 0\]

 

Abstand \(d\,(P; E)\) berechnen:

 

\[P\,(2|3|-3)\]

 

\[\begin {align*} d\,(P, E) &= \left| \frac{2p_1 - p_2 + 2p_3 - 4}{3} \right| \\[0.8em] &= \left| \frac{2 \cdot 2 - 3 + 2 \cdot (-3) - 4}{3} \right| \\[0.8em] &= \left| \frac{-9}{3} \right| \\[0.8em] &= 3 \end {align*} \]