Klausuren Q11 / Q12 Mathematik Bayern

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Ein Test besteht aus zwölf Fragen, zu denen es jeweils gleich viele Antwortmöglichkeiten gibt. Pro Frage ist genau eine Antwort richtig.

Wie viele Antwortmöglichkeiten darf der Test höchstens nennen, damit ein ratender Teilnehmer mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % mindestens eine Frage richtig beantwortet.

Hierbei handelt es sich um eine Variation einer klassischen „3-Mindestens-Aufgabe", die indirekt danach fragt, wie hoch die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) für die richtige Beantwortung einer Frage mindestens sein muss (vgl. Abiturskript - 3.3.3 Binomialverteilte Zufallsgröße, 3-Mindestens-Aufgaben).

Es sei \(x\) die Anzahl der Antwortmöglichkeiten, welche der Test höchstens nennen darf, damit die Trefferwarscheinlichkeit \(p = \frac{1}{x}\) mindestens einen bestimmten Wert annimmt.

Bernoulli-Experiment, Bernoulli-Kette

Bernoulli-Experiment, Bernoulli-Kette

Ein Zufallsexperiment, bei dem nur zwei verschiedene sich gegenseitig ausschließende Ereignisse \(A\) und \(\overline{A}\) mit konstanten Wahrscheinlichkeiten eintreten können, heißt Bernoulli-Experiment.

Das Eintreten des Ereignisses \(A\) wird als Treffer und das Eintreten des Gegeneignisses \(\overline{A}\) wird als Niete bezeichnet. Die Trefferwahrscheinlichkeit \(P(A)\) bezeichnet man mit \(\boldsymbol{p}\) und die Wahrscheinlichkeit für eine Niete mit \(q = 1- p\). Wird ein Bernoulli-Experiment \(n\)-mal wiederholt, spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge \(\boldsymbol{n}\). Dabei müssen die einzelnen Wiederholungen unabhängig voneinander erfolgen. Das heißt, die Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) bleibt konstant.

Da nur zwischen den beiden sich gegenseitig ausschließenden Ereignissen „richtige Antwort" und „falsche Antwort" unterschieden wird, und zudem \(p\) bei jeweils gleich vielen Antwortmöglichkeiten \(x\) pro Frage konstant ist, liegt ein Bernoulli-Exoeriment der Länge \(n = 12\) vor.

Es sei \(X\) die Zufallsgröße, welche die Anzahl der richtig beantworteten Fragen beschreibt.

Die Zufallsgröße \(X\) ist somit nach \(B(12;p)\) bzw. \(B(12;\frac{1}{x})\) binomialverteilt.

Der Term \(P^{12}_{p}(X \geq 1)\) beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein ratender Teilnehmer mindestens eine Frage von insgesamt zwölf Fragen richtig beantwortet. Diese Wahrscheinlichkeit soll mindestens 99 % betragen.

Betrachten des Gegenereignisses (mindestens 1 Treffer)

Betrachten des Gegenereignisses (mindestens 1 Treffer)

Wahrscheinlichkeitsberechnungen einer binomialverteilten Zufallsgröße \(X\) der Form „mindestens 1 Treffer" \(P(X \geq 1)\) vereinfachen sich durch die Betrachtung des Gegenereignisses „nicht 0 Treffer":

\[P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)\]

Formel von Bernoulli

Formel von Bernoulli

Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer bei einer Bernoullikette der Länge \(n\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p\) für das Eintreten eines betrachteten Ereignisses:

\[P(X = k) = B(n;p;k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}\]

\[k \in \{0,1,\dots,n\}\]

\[\begin{align*}P_{p}^{12}(X \geq 1) &\geq 0{,}99 &&| \; \text{Gegenereignis betrachten} \\[0.8em] 1 - P_{p}^{12}(X = 0) &\geq 0{,}99 &&| - 1 \\[0.8em] -P_{p}^{12}(X = 0) &\geq -0{,}01 &&| \cdot (-1) \; \text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] P_{p}^{12}(X = 0) &\leq 0{,}01 &&| \; \text{Formel von Bernoulli anwenden} \\[0.8em] \underbrace{\binom{12}{0}}_{1} \cdot \underbrace{p^{0}}_{1} \cdot (1 - p)^{12 - 0} &\leq 0{,}01 \\[0.8em] (1 - p)^{12} &\leq 0{,}01 &&| \; \sqrt[12]{(\dots)} \\[0.8em] 1 - p &\leq \sqrt[12]{0{,}01} &&| + p - \sqrt[12]{0{,}01} \\[0.8em] 1 - \sqrt[12]{0{,}01} &\leq p &&| \; p = \frac{1}{x} \\[0.8em] 1 - \sqrt[12]{0{,}01} &\leq \frac{1}{x} &&| \cdot x \\[0.8em] x \cdot \left(1 - \sqrt[12]{0{,}01} \right) &\leq 1 &&| : \left(1 - \sqrt[12]{0{,}01} \right) \\[0.8em] x &\leq \frac{1}{1 - \sqrt[12]{0{,}01}} \\[0.8em] x &\lessapprox 3{,}14 &&| \; x \in \mathbb N \\[2.4em] \Longrightarrow \quad x &= 3 \end{align*}\]

 

Damit ein ratender Teilnehmer mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % mindestens eine Frage richtig beantwortet, darf der Test pro Frage höchstens drei Antwortmöglichkeiten nennen.

2.3.2 Lagebeziehung von Gerade und Ebene

2.3.2 Lagebeziehung von Gerade und ...
2.3.2 Lagebeziehung von Gerade und Ebene