Beim Fernsehsender „Sport TV" treten bei Live-Übertragungen mit einer Wahrscheinlichkeit von 4 % Bildstörungen auf. Wenn das Bild gestört ist, kommt es mit einer Wahrscheinlichkeit von 60 % auch zu Tonstörungen. Bei 13,6 % der Übertragungen kommt es zu Bild- oder Tonstörungen.
Betrachte werden folgende Ereignisse:
\(B\): „Es tritt eine Bildstörung bei der Live-Übertragung auf",
\(T\): „Es tritt eine Tonstörung bei der Live-Übertragung auf".
a) Zeigen Sie, dass bei 12 % aller Live-Übertragungen Tonstörungen auftreten.
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einer Live-Übertragung
- ein einwandfreies Bild empfangen wird, falls der Ton gestört ist.
- Bild oder Ton einwandfrei empfangen werden.
c) Untersuchen Sie, ob die Ereignisse \(B\) und \(T\) stochastisch unabhängig sind.
a) Nachweis, dass bei 12 % aller Live-Übertragungen Tonstörungen auftreten
Analyse der Angabe:
„Beim Fernsehsender „Sport TV" treten bei Live-Übertragungen mit einer Wahrscheinlichkeit von 4 % Bildstörungen auf."
\[\Rightarrow \; P(B) = 0{,}04\]
„Wenn das Bild gestört ist, kommt es mit einer Wahrscheinlichkeit von 60 % auch zu Tonstörungen."
\(\Rightarrow \; P_{\textcolor{#cc071e}{\boldsymbol{B}}}(\textcolor{#0087c1}{T}) = 0{,}60\) (bedingte Wahrscheinlichkeit)
„Bei 13,6 % der Übertragungen kommt es zu Bild- oder Tonstörungen."
\[\Rightarrow \; P(B \textcolor{#cc071e}{\boldsymbol{\cup}} T) = 0{,}136\]
Nachzuweisen ist, dass \(P(T) = 0{,}12\)
1. Möglichkeit: Wahrscheinlichkeit einer Vereinigungsmenge (Additionssatz)
Wahrscheinlichkeit einer Vereinigungsmenge (Additionssatz)
Für zwei beliebige Ereignisse \(A\) und \(B\) gilt:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]
\[\begin{align*} P(B \cup T) &= P(B) + P(T) - P(B \cap T) &&| -P(B) + P(B \cap T) \\[0.8em] \Leftrightarrow \; P(T) &= P(B \cup T) - P(B) + P(B \cap T) \end{align*}\]
Zunächst ist noch die Wahrscheinlichkeit \(P(B \cap T)\) zu berechnen. Hierfür wird die gegebene bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_B(T) = 0{,}60\) verwendet.
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses \(B\) unter der Voraussetzung oder der Bedingung, dass das Ereignis \(A\) bereits eingetreten ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von \(\boldsymbol{B}\) unter der Bedingung \(\boldsymbol{A}\) und wird durch die Schreibweise \(P_{A}(B)\) gekennzeichnet.
Es gilt: \(P_{A}(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} \quad (P(A) \neq 0)\)
(vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*}P_B(T) = \frac{P(B \cap T)}{P(B)} \; \Leftrightarrow \;P(B \cap T) &= P_B(T) \cdot P(B) \\[0.8em] &= 0{,}60 \cdot 0{,}04 \\[0.8em] &= 0{,}024\end{align*}\]
Damit ergibt sich:
\[\begin{align*}\textcolor{#89ba17}{P(T)} &= P(B \cup T) - P(B) + P(B \cap T) \\[0.8em] &= 0{,}136 - 0{,}04 + 0{,}024 \\[0.8em] &= \textcolor{#89ba17}{0{,}12 = 12\,\%} \end{align*}\]
2. Möglichkeit: Vierfeldertafel
gegeben: \(P(B) = 0{,}04\); \(P_B(T) = 0{, }60\); \(P(B \cup T) = 0{,}136\)
Davon kann zunächst nur die Wahrscheinlichkeit \(P(B) = 0{,}04\) in eine Vierfeldertafel eingetragen werden.
Außerdem gilt: \(P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0{,}04 = 0{,}96\)
| \(B\) | \(\overline{B}\) | ||
| \(T\) | \(\) | ||
| \(\overline{T}\) | \(\) | \(\) | |
| \(0{,}04\) | \(0{,}96\) | \(1\) |
Die Angabe der bedingten Wahrscheinlichkeit \(P_B(T) = 0{,}6\) liefert den inneren Eintrag \(P(B \cap T)\).
\[\begin{align*}P_B(T) = \frac{P(B \cap T)}{P(B)} \; \Leftrightarrow \;P(B \cap T) &= P_B(T) \cdot P(B) \\[0.8em] &= 0{,}60 \cdot 0{,}04 \\[0.8em] &= 0{,}024\end{align*}\]
| \(B\) | \(\overline{B}\) | ||
| \(T\) | \(0{,}024\) | \(\) | |
| \(\overline{T}\) | \(\) | \(\) | |
| \(0{,}04\) | \(0{,}96\) | \(1\) |
Die Angabe der Wahrscheinlichkeit \(P(B \cup T) = 0{,}136\) liefert den inneren Eintrag \(P(\overline{B} \cap \overline{T})\), denn mit
| \(B\) | \(\overline{B}\) | ||
| \(T\) | \(\textcolor{#0087c1}{P(B \cap T)}\) | \(\textcolor{#0087c1}{P(\overline{B} \cap T)}\) | \(\) |
| \(\overline{T}\) | \(\textcolor{#0087c1}{P(B \cap \overline{T})}\) | \(P(\overline{B} \cap \overline{T})\) | \(\) |
| \(\) | \(\) | \(1\) |
\[\textcolor{#0087c1}{P(B \cup T)} = \textcolor{#0087c1}{P(B \cap \overline{T})} + \textcolor{#0087c1}{P(\overline{B} \cap T)} + \textcolor{#0087c1}{P(B \cap T)} = \textcolor{#0087c1}{0{,}136}\]
folgt:
\[P(\overline{B} \cap \overline{T}) = 1 - \textcolor{#0087c1}{P(B \cup T)} = 1 - \textcolor{#0087c1}{0{,}136} = 0{,}864\]
| \(B\) | \(\overline{B}\) | ||
| \(T\) | \(0{,}024\) | \(\) | |
| \(\overline{T}\) | \(0{,}864\) | \(\) | |
| \(0{,}04\) | \(0{,}96\) | \(1\) |
Damit lässt sich die Wahrscheinlichkeit \(P(T)\) berechnen bzw. nachweisen.
„Spalte \(\overline{B}\)" ergibt durch Subtraktion:
\[\begin{align*} P(\overline{B} \cap T) &= P(\overline{B}) - P(\overline{B} \cap \overline{T}) \\[0.8em] &= 0{,}96 - 0{,}864 = 0{,}096\end{align*}\]
| \(B\) | \(\overline{B}\) | ||
| \(T\) | \(0{,}024\) | \(0{,}096\) | \(\) |
| \(\overline{T}\) | \(0{,}864\) | \(\) | |
| \(0{,}04\) | \(0{,}96\) | \(1\) |
„Zeile \(T\)" ergibt durch Addition:
\[\begin{align*} \textcolor{#89ba17}{P(T)} &= P(B \cap T) + P(\overline{B} \cap T) \\[0.8em] &= 0{,}024 + 0{,}096 = \textcolor{#89ba17}{0{,}12 = 12\,\%}\end{align*}\]
| \(B\) | \(\overline{B}\) | ||
| \(T\) | \(0{,}024\) | \(0{,}096\) | \(\textcolor{#89ba17}{0{,}12}\) |
| \(\overline{T}\) | \(0{,}864\) | \(\) | |
| \(0{,}04\) | \(0{,}96\) | \(1\) |
b) Berechnung der Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einer Live-Übertragung
I. ein einwandfreies Bild empfangen wird, falls der Ton gestört ist
Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P_{\textcolor{#cc071e}{\boldsymbol{T}}}(\textcolor{#0087c1}{\overline{B}})\).
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses \(B\) unter der Voraussetzung oder der Bedingung, dass das Ereignis \(A\) bereits eingetreten ist, heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von \(\boldsymbol{B}\) unter der Bedingung \(\boldsymbol{A}\) und wird durch die Schreibweise \(P_{A}(B)\) gekennzeichnet.
Es gilt: \(P_{A}(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} \quad (P(A) \neq 0)\)
(vgl. Merkhilfe)
\[P_T(\overline{B}) = \frac{P(\overline{B} \cap T)}{P(T)}\]
Falls bisher noch keine Vierfeldertafel verwendet wurde, empfiehlt es sich für Teilaufgabe b eine zu erstellen wie unter Teilaufgabe a beschrieben.
| \(B\) | \(\overline{B}\) | ||
| \(T\) | \(0{,}024\) | \(0{,}096\) | \(0{,}12\) |
| \(\overline{T}\) | \(\) | \(0{,}864\) | \(\) |
| \(0{,}04\) | \(0{,}96\) | \(1\) |
\[P_T(\overline{B}) = \frac{P(\overline{B} \cap T)}{P(T)} = \frac{0{,}096}{0{,}12} = 0{,}8 = 80\,\%\]
II. Bild oder Ton einwandfrei empfangen werden
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
- nur das Bild einwandfrei empfangen wird oder
- nur der Ton einwandfrei empfangen wird oder
- Bild und Ton einwandfrei empfangen werden,
also die Wahrscheinlichkeit \(\textcolor{#0087c1}{P(\overline{B} \cup \overline{T}}) = \textcolor{#0087c1}{P(\overline{B} \cap T)} + \textcolor{#0087c1}{P(B \cap \overline{T})} + \textcolor{#0087c1}{P(\overline{B} \cap \overline{T})}\).
| \(B\) | \(\overline{B}\) | ||
| \(T\) | \(0{,}024\) | \(\textcolor{#0087c1}{P(\overline{B} \cap T)}\) | \(0{,}12\) |
| \(\overline{T}\) | \(\textcolor{#0087c1}{P(B \cap \overline{T})}\) | \(\textcolor{#0087c1}{P(\overline{B} \cap \overline{T})}\) | \(\) |
| \(0{,}04\) | \(0{,}96\) | \(1\) |
Mithilfe der Vierfeldertafel ergibt sich:
\[\textcolor{#0087c1}{P(\overline{B} \cup \overline{T})} = 1 - P(B \cap T) = 1 - 0{,}024 = \textcolor{#0087c1}{0{,}976 \approx 98\,\%}\]
c) Untersuchung, ob die Ereignisse \(B\) und \(T\) stochastisch unabhängig sind
Gegeben: \(P(B) = 0{,}04\); \(P(T) = 0{,}12\) (vgl. Angabe)
Bekannt aus Teilaufgabe b: \(P(B \cap T) = 0{,}024\)
Stochastische (Un)Abhängigkeit von zwei Ereignissen
Zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) heißen stochastisch unabhängig, wenn
\(P(A) \cdot P(B) = P(A \cap B)\) gilt. (vgl. Merkhilfe) *
Andernfalls heißen die Ereignisse \(A\) und \(B\) stochastisch abhängig.
Sind zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) stochastisch unabhängig, beeinflusst das Eintreten des Ereignisses \(A\) nicht das Eintreten des Ereignisses \(B\) und umgekehrt.
* Oder wenn
\(P(\overline{A}) \cdot P(B) = P(\overline{A} \cap B)\) bzw.
\(P(A) \cdot P(\overline{B}) = P(A \cap \overline{B})\) bzw.
\(P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = P(\overline{A} \cap \overline{B})\) gilt.
\[P(B) \cdot P(T) = 0{,}04 \cdot 0{,}12 = 0{,}0048 \textcolor{#cc071e}{\neq} 0{,}024 = P(B \cap T)\]
Die Ereignisse \(B\) und \(T\) sind stochastisch abhängig.
