Klausuren Q11 / Q12 Mathematik Bayern

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Zwei Seitenflächen eines Laplace-Würfels sind rot, drei sind gelb und eine Seitenfläche ist blau.

Wie viele Würfe sind mindestens nötig, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60 % mindestens dreimal die Farbe Rot zu erhalten.

Hierbei handelt es sich um eine typische „3-Mindestens-Aufgabe" in der Variante „mindestens \(k\) Treffer" (vgl. Abiturskript - 3.3.3 Binomialverteilte Zufallsgröße, 3-Mindestens-Aufgaben).

 

{zen-exclamation-triangle}Wichtig!{/zen-exclamation-triangle}

Eine „3-Mindestens-Aufgabe" in der Variante „mindestens \(k\) Treffer" wird mithilfe des Stochastischen Tafelwerks (ST) gelöst. Nur in der Variante „mindestens 1 Treffer" lassen sich „3-Mindestens-Aufgaben" im Rahmen der abiturrelevanten Mathematikkenntnisse durch Rechnung lösen.

 

Betrachtet werden die beiden sich gegenseitig ausschließenden Ereignisse

\(R\): „Würfel zeigt Rot." und

\(\overline{R}\): „Würfel zeigt nicht Rot."

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses \(R\) ist mit \(p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) (zwei Seitenflächen sind rot) konstant.

Folglich liegt ein Bernoulli-Experiment der gesuchten Länge \(n\) und der Trefferwahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{3}\) vor (vgl. Abiturskript - 3.3.3 Binomialverteilte Zufallsgröße, Bernoulli-Experiment).

Es sei \(X\) die Zufallsgröße, welche bei \(n\)-maligem Würfeln die Anzahl beschreibt, wie oft der Würfel die Farbe Rot zeigt.

Dann ist die Zufallsgröße \(X\) nach \(B(n;\frac{1}{3})\) binomialvetrteilt.

 

Die Frage: „ Wie viele Würfe sind mindestens nötig, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60 % mindestens dreimal die Farbe Rot zu erhalten" führt damit auf folgenden Absatz:

 

\[P_{\frac{1}{3}}^{n}(X \geq 3) \geq 0{,}60\]

 

Um mit dem Stochastischen Tafelwerk arbeiten zu können, wird die Wahrscheinlichkeit \(P_{\frac{1}{3}}^{n}(X \geq 3)\) auf die kumulative Verteilungsfunktion zurückgeführt.

Kumulative Verteilungsfunktion einer binomialverteilten Zufallsgröße

Kumulative Verteilungsfunktion einer nach \(B(n, p)\) binomialverteilten Zufallsgröße \(X\)

\[F^n_p (k) = P^n_p (X \leq k) = \sum_{i \, = \, 0}^k B(n; p; i) = \sum_{i \, = \, 0}^k \binom{n}{i} \cdot p^i \cdot (1 - p)^{n - i}\]

Wobei \(n\) die Länge der Bernoullikette, \(p\) die Trefferwahrscheinlichkeit für das Eintreten des betrachteten Ereignisses und \(k \in \{0,1,\dots,n\}\) die Anzahl der Treffer ist.

Das Stochastische Tafelwerk (ST) listet die Werte der Kumulativen Verteilungsfunktion jeweils in der rechten Spalte einer betrachteten Tabelle der Parameter \(n\) und \(p\). 

Hierfür wird das Gegenereignis „höchstens zweimal Rot" betrachtet. Das Ereignis „mindestens dreimal Rot" ist gleichbedeutend mit dem Ereignis „nicht höchstens zweimal Rot" (verneintes Gegenereignis).

Betrachten des Gegenereignisses (mindestens \(k\) Treffer)

Betrachten des Gegenereignisses (mindestens \(k\) Treffer)

Kumulative Wahrscheinlichkeiten der Form \(P(X \geq k)\) lassen sich im Stochastischen Tafelwerk (ST) nicht nachschlagen. Die Betrachtung des Gegenereignisses ermöglicht das Verwenden des Stochastischen Tafelwerks:

\[P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k - 1)\]

Die Kumulative Verteilungsfunktion \(F_{p}^{n}(k) = P^n_p(X \leq k) = \sum \limits_{i\;=\;0}^{k} B(n;p;i)\) ist für bestimmte Werte der Parameter \(p\) und \(n\) in der rechten Spalte des Stochastischen Tafelwerks mit Abiturzulassung tabellarisiert.

\[\begin{align*}P_{\frac{1}{3}}^{n}(X \geq 3) &\geq 0{,}60  \\[0.8em] 1 - P_{\frac{1}{3}}^{n}(X \leq 2) &\geq 0{,}60 \end{align*}\]

 

Nach elementarer Umfomung kann das Stochastische Tafelwerk verwendet werden. 

 

\[\begin{align*}1 - P_{\frac{1}{3}}^{n}(X \leq 2) &\geq 0{,}60 &&| - 1 \\[0.8em] - P_{\frac{1}{3}}^{n}(X \leq 2) &\geq -0{,}40 &&| \cdot (-1) \; \text{Relationszeichen dreht!} \\[0.8em] P_{\frac{1}{3}}^{n}(X \leq 2) &\leq 0{,}40 \end{align*}\]

 

Stochastisches Tafelwerk (ST) verwenden:

Für die Trefferwahrscheinlichkeit \(p = \frac{1}{3}\) sucht man diejenige Tabelle der Länge der Bernoullikette \(n\), deren Eintrag in der rechten Spalte (\(\sum \limits_{i\,=\,0}^{k}B(n:p;i)\), kumulative Verteilungsfunktion) möglichst nahe an den Wert \(0{,}40\) heranreicht und notiert die Anzahl der Treffer \(k\) der zugehörigen Zeile.

 

\[P_{\frac{1}{3}}^{n}(X \leq 2) \leq 0{,}40 \quad \overset{\text{ST}}{\Longrightarrow} \quad n = 9 \enspace \left(P_{\frac{1}{3}}^{9}(X \leq 2) = 0{,}37718\right)\]

 

Zum Vergleich:

 

\[n = 8 \quad \overset{\text{ST}}{\Longrightarrow} \quad P_{\frac{1}{3}}^{8}(X \leq 2) = 0{,}46822\]

Die Bedingung \(P_{\frac{1}{3}}^{n}(X \leq 2) \leq 0{,}40\) ist für \(n = 8\) nicht erfüllt.

 

\[n = 10 \quad \overset{\text{ST}}{\Longrightarrow} \quad P_{\frac{1}{3}}^{10}(X \leq 2) = 0{,}29914\]

Die Bedingung \(P_{\frac{1}{3}}^{n}(X \leq 2) \leq 0{,}40\) ist für \(n = 10\) übererfüllt.

 

Es sind mindestens neun Würfe nötig, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 60 % mindestens dreimal die Farbe Rot zu erhalten.

2.3.2 Lagebeziehung von Gerade und Ebene

2.3.2 Lagebeziehung von Gerade und ...
2.3.2 Lagebeziehung von Gerade und Ebene