Bestimmen Sie jeweils die erste Ableitung der folgenden Funktionen, ohne anschließend zu vereinfachen.
a) \(f(x) = 2\sqrt{x} \cdot \cos(0{,}5x)\)
b) \(g(x) = \dfrac{\ln\left(\dfrac{1}{x^{3}}\right)}{2x + 3}\)
a) Ableitung der Funktion \(f\) (ohne Vereinfachen)
\[f(x) = 2\sqrt{x} \cdot \cos(0{,}5x)\]
Die Funktion \(f\) wird unter Anwendung der Produkt- und der Kettenregel, der Ableitung einer Wurzelfunktion, der Ableitung einer Potenzfunktion sowie der Faktorregel abgeleitet.
Als Alternative formuliert man den Funktionsterm \(f(x)\) mithilfe der Rechenregel für Potenzen \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}}; \;a \in \mathbb R^{+},\; m \in \mathbb Z, \; n \in \mathbb N\) vorab in der Potenzschreibweise.
\[f(x) = 2\sqrt{x} \cdot \cos(0{,}5x) = 2x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos{(0{,}5x)}\]
1. Möglichkeit (ohne Formulierung in der Potenzschreibweise)
\[f(x) = 2\sqrt{x} \cdot \cos(0{,}5x)\]
Produktregel
\[f(x) = u(x) \cdot v(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\]
Kettenregel
\[f(x) = u(v(x)) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) \]
Ableitung einer Wurzelfunktion
\[f(x) = \sqrt{g(x)} \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}} \quad (g(x) \geq 0)\]
Ableitung einer Potenzfunktion
\[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = rx^{r - 1} \quad (r \in \mathbb R)\]
Faktorregel
\(f(x) = a \cdot u(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = a \cdot u'(x)\)
(vgl. Merkhilfe)
\[\left[u(x) \cdot v(x)\right]' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\]
\[u(x) = 2\sqrt{x}; \; u'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot 1 = \frac{1}{\sqrt{x}}\]
\[v(x) = \cos{(0{,}5x)}; \, v'(x) = -\sin{(0{,}5x)} \cdot 0{,}5 =-0{,}5\sin{(0{,}5x)}\]
\[f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \cos{(0{,}5x)} + 2\sqrt{x} \cdot (-0{,}5\sin{(0{,}5x)})\]
2. Möglichkeit (mit Formulierung in der Potenzschreibweise)
\[f(x) = 2x^{\frac{1}{2}} \cdot \cos{(0{,}5x)}\]
Produktregel
\[f(x) = u(x) \cdot v(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\]
Kettenregel
\[f(x) = u(v(x)) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) \]
Ableitung einer Potenzfunktion
\[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = rx^{r - 1} \quad (r \in \mathbb R)\]
Faktorregel
\(f(x) = a \cdot u(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = a \cdot u'(x)\)
(vgl. Merkhilfe)
\[\left[u(x) \cdot v(x)\right]' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\]
\[u(x) = 2x^{\frac{1}{2}}; \; u'(x) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} = x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{x}}\]
\[v(x) = \cos{(0{,}5x)}; \; v'(x) = -\sin{(0{,}5x)} \cdot 0{,}5 =-0{,}5\sin{(0{,}5x)}\]
\[f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \cos{(0{,}5x)} + 2\sqrt{x} \cdot (-0{,}5\sin{(0{,}5x)})\]
b) Ableitung der Funktion \(g\) (ohne Vereinfachen)
\[g(x) = \frac{\ln\left(\frac{1}{x^{3}}\right)}{2x + 3}\]
Die Funktion \(g\) lässt sich mithilfe der Quotientenregel und der Kettenregel, der Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion, der Ableitung einer Potenzfunktion sowie der Summen- und der Faktorregel ableiten.
Als Alternative formuliert man den Zählerterm von \(g(x)\) mithilfe der Rechenregel für Potenzen \(a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}; \;a \in \mathbb R \backslash \{0\},\; n \in \mathbb N\) und der Rechenregel für Logarithmen \(\log_{a}{b^{n}} = n \cdot \log_{a}{b}\) vorab um.
\[\begin{align*}g(x) &= \frac{\ln\left(\dfrac{1}{x^{3}}\right)}{2x + 3} & &| \; a^{-n} = \frac{1}{a^{n}} \\[0.8em] &= \frac{\ln{\left( x^{-3} \right)}}{2x + 3} & &| \; \log_{a}{b^{n}} = n \cdot \log_{a}{b} \\[0.8em] &= \frac{-3\ln{x}}{2x + 3} \end{align*}\]
1. Möglichkeit (ohne Umformulierung des Zählerterms)
\[g(x) = \frac{\ln\left(\frac{1}{x^{3}}\right)}{2x + 3}\]
Quotientenregel
\[f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}\]
Kettenregel
\[f(x) = u(v(x)) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) \]
Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion
\[f(x) = \ln x \enspace (x > 0) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = \frac{1}{x}\]
Ableitung einer Potenzfunktion
\[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = rx^{r - 1} \quad (r \in \mathbb R)\]
Summenregel
\(f(x) = u(x) + v(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(x) + v'(x)\)
Faktorregel
\(f(x) = a \cdot u(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = a \cdot u'(x)\)
(vgl. Merkhilfe)
\[\left[ \frac{u(x)}{v(x)} \right]' = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{\left[ v(x) \right]^{2}}\]
\[u(x) = \ln\left( \frac{1}{x^{3}} \right); \; u'(x) = \frac{1}{\frac{1}{x^{3}}} \cdot \left( \frac{1}{x^{3}} \right)'\]
\[v(x) = 2x + 3; \; v'(x) = 2 + 0 = 2\]
Ableitung von \(\dfrac{1}{x^{3}}\) mit der Quotientenregel:
\[\left[ \frac{u(x)}{v(x)} \right]' = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{\left[ v(x) \right]^{2}}\]
\[u(x) = 1; \; u'(x) = 0\]
\[v(x) = x^{3}; \; v'(x) = 3 \cdot x^{2} = 3x^{2}\]
\[\left( \frac{1}{x^{3}} \right)' = \frac{0 \cdot x^{3} - 1 \cdot 3x^{2}}{\left( x^{3} \right)^{2}} = \frac{-3x^{2}}{x^{6}} = -\frac{3}{x^{4}}\]
\[g'(x) = \frac{\frac{1}{\frac{1}{x^{3}}} \cdot \left( -\frac{3}{x^{4}} \right) \cdot (2x + 3) - \ln\left( \frac{1}{x^{3}} \right) \cdot 2}{(2x + 3)^{2}}\]
2. Möglichkeit (mit Umformulierung des Zählerterms)
\[g(x) = \frac{-3\ln{x}}{2x + 3}\]
Quotientenregel
\[f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}\]
Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion
\[f(x) = \ln x \enspace (x > 0) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = \frac{1}{x}\]
Ableitung einer Potenzfunktion
\[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = rx^{r - 1} \quad (r \in \mathbb R)\]
Summenregel
\(f(x) = u(x) + v(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(x) + v'(x)\)
Faktorregel
\(f(x) = a \cdot u(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = a \cdot u'(x)\)
(vgl. Merkhilfe)
\[\left[ \frac{u(x)}{v(x)} \right]' = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{\left[ v(x) \right]^{2}}\]
\[u(x) = -3\ln{x}; \; u'(x) = (-3) \cdot \frac{1}{x} = -\frac{3}{x}\]
\[v(x) = 2x + 3; \; v'(x) = 2 + 0 = 2\]
\[g'(x) = \frac{\left( -\frac{3}{x} \right) \cdot (2x + 3) - (-3\ln{x}) \cdot 2}{(2x + 3)^{2}}\]
