Klausuren Q11 / Q12 Mathematik Bayern

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Gegeben ist die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(f \colon x \mapsto x \cdot e^{4 - 0{,}25x^{2}}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.

 

a) Überprüfen Sie das Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) bezüglich des Koordinatensystems.

b) Bestimmen Sie die Nullstelle(n) von \(f\) sowie die Lage und Art des/der Extrempunkte(s) von \(G_{f}\).

c) Ermitteln Sie die Gleichung der Normale \(N\) im Punkt P\((0|f(0))\).

a) Symmetrieverhalten von \(G_{f}\) bezüglich des Koordinatensystems

Man bestimmt den Funktionsterm \(f(-x)\). Gilt \(f(-x) = f(x)\), ist \(G_{f}\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse. Gilt \(f(-x) = -f(x)\), ist \(G_{f}\) punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung \(O(0|0)\). Trifft keiner der beiden Fälle zu, weist \(G_{f}\) keines der beiden Symmetrieverhalten auf.

Symmetrieverhalten (bzgl. des Koordinatensystems)

Symmetrieverhalten von Funktionsgraphen bzgl. des Koordinatensystems

\(f(-x) = f(x) \hspace{32px} \Longrightarrow \quad G_f\) ist achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse

\(f(-x) = -f(x) \hspace{20px} \Longrightarrow \quad G_f\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung

\[f(x) = x \cdot e^{4 - 0{,}25x^{2}}; \; D_{f} = \mathbb R\]

 

\[\begin{align*} f(-x) &= (-x) \cdot e^{4 - 0{,}25 \cdot (-x)^{2}} \\[0.8em] &= -x \cdot e^{4 - 0{,}25x^{2}} \\[0.8em] &= -f(x) \end{align*}\]

 

\(\Longrightarrow \quad G_{f}\) ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung \(O(0|0)\).

 

b) Nullstelle(n) von \(f\) sowie die Lage und Art des/der Extrempunkte(s) von \(G_{f}\)

 

Nullstelle(n) der Funktion \(f\)

Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann null, wenn einer der Faktoren null ist.

Nullstellen einer Funktion bestimmen

Nullstelle(n) einer Funktion bestimmen

Eine Nullstelle ist die \(x\)-Koordinate eines gemeinsamen Punktes des Graphen einer Funktion \(x \mapsto f(x)\) mit der \(x\)-Achse. An einer Nullstelle gilt: \(f(x) = 0\).

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Produkt von Funktionen

Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann null, wenn einer der Faktoren null ist.

\(f(x) \cdot g(x) = 0 \enspace \Rightarrow \enspace f(x) = 0\) oder \(g(x) = 0\)

Quotient von Funktionen

Ein Quotient von Funktionen ist genau dann null, wenn die Zählerfunktion null ist.

\(\dfrac{f(x)}{g(x)} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace f(x) = 0\; (g(x) \neq 0)\)

Quadratische Funktion

Lösungsformel für quadratische Gleichungen (Mitternachtsformel, vgl. Merkhilfe)

 

\[\textcolor{#cc071e}{a}x^2 + \textcolor{#0087c1}{b}x + \textcolor{#e9b509}{c} = 0 \enspace \Leftrightarrow \enspace x_{1,2} = \frac{-\textcolor{#0087c1}{b} \pm \sqrt{\textcolor{#0087c1}{b}^2 - 4\textcolor{#cc071e}{a}\textcolor{#e9b509}{c}}}{2\textcolor{#cc071e}{a}}\]

 

Diskriminante \(D = b^2 -4ac \;\):

\(D < 0\,\): keine Lösung

\(D = 0\,\): genau eine Lösung

\(D > 0\,\): zwei verschiedene Lösungen

 

Folgende Fälle lassen sich einfacher durch Umformung lösen:

 

\[\begin{align*}\textcolor{#cc071e}{a}x^2 + \textcolor{#0087c1}{b}x &= 0 &&| \; x\; \text{ausklammern (Produkt formulieren)} \\[0.8em] x \cdot (ax + b) &= 0 \\[0.8em] \Rightarrow \enspace x = 0 \vee ax + b &= 0 \end{align*}\]

 

\[\begin{align*}\textcolor{#cc071e}{a}x^2 + \textcolor{#e9b509}{c} &= 0 &&| -c \enspace (c \neq 0) \\[0.8em] ax^2 &= -c &&| : a \\[0.8em] x^2 &= -\frac{c}{a} &&| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] x_{1,2} &= \pm \sqrt{-\frac{c}{a}} \end{align*}\]

Zwei Lösungen, falls \(-\dfrac{c}{a} > 0\), keine Lösung, falls \(-\dfrac{c}{a} < 0\)

Ganzrationale Funktion

Vorgehensweise für die Bestimmung der Nullstelle(n) einer ganzrationalen Funktion ab Grad 3:

Vorgehensweise für die Bestimmung der Nullstelle(n) einer ganzrationalen Funktion ab Grad 3

vgl. Abiturskript - 1.1.3 Ganzrationale Funktion, Nullstellen

Gebrochenrationale Funktion

Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion \(f(x) = \dfrac{\textcolor{#0087c1}{z(x)}}{n(x)}\) sind alle Nullstellen der Zählerfunktion \(\textcolor{#0087c1}{z(x)}\), die nicht zugleich Nullstellen der Nennerfunktion \(\boldsymbol{n(x)}\) sind .

Ist \(x_0\) eine Nullstelle der Zählerfunktion \(\boldsymbol{z(x)}\) und zugleich eine Nullstelle der Nennerfunktion \(\boldsymbol{n(x)}\), so besitzt die gebrochnrationale Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\) eine hebbare Definitionslücke.

(vgl. Abiturskript - 1.2.1 Gebrochenrationale Funktion, Nullstellen und Polstellen)

Wurzelfunktion

Eine Wurzelfunktion \(f(x) = \sqrt{\textcolor{#cc071e}{g(x)}}\) nimmt genau dann den Wert null an, wenn der Radikand (Term unter der Wurzel) null ist.

Sinus- und Kosinusfunktion

\[\sin{x} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace x = k \cdot \pi \; (k \in \mathbb Z)\]

\[\cos{x} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace x = \dfrac{\pi}{2} + k \cdot \pi \; (k \in \mathbb Z)\]

Nullstellen der Sinusfunktion x ↦ sin x und der Kosinusfunktion x ↦ cos x

Natürliche Logarithmusfunktion

Nullstelle x = 1 der natürlichen Logarithmusfunktion

Die natürliche Logarithmusfunktion \(x \mapsto \ln{x}\) besitzt die einzige Nullstelle \(\boldsymbol{x = 1}\).

\[\ln{\left( \textcolor{#0087c1}{f(x)} \right)} = 0 \enspace \Rightarrow \enspace \textcolor{#0087c1}{f(x) = 1}\]

Natürliche Exponentialfunktion

Graph der natürlichen Exponentialfunktion x → eˣ

Die natürliche Exponentialfunktion \(x \mapsto e^x\) sowie jede verkettete Funktion \(x \mapsto e^{f(x)}\) besitzt keine Nullstelle!

\[\begin{align*}f(x) &= 0 \\[0.8em] x \cdot \underbrace{e^{4 - 0{,}25x^{2}}}_{>\,0} &= 0 \\[0.8em] \Longrightarrow \quad x &= 0\end{align*}\]

 

\(x = 0\) ist einzige Nullstelle der Funktion \(f\).

 

Lage und Art des/der Extrempunkte(s) von \(G_{f}\)

An den Extremstellen besitzt der Graph der Funktion \(f\) eine waagrechte Tangente, das heißt, die Tangentensteigung ist gleich Null. Die erste Ableitung \(f'\) der Funktion \(f\) beschreibt die Steigung einer Tangente an den Graphen der Funktion \(f\),

Folglich lautet die notwendige Bedingung für einen Extrempunkt von \(G_{f}\):

Extrempunkte

Anwendung der Differentialrechnung:

Extrempunkte

Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und wechselt \(f'\) an der Stelle \(x_{0}\) das Vorzeichen, so hat \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) einen Extrempunkt.

(vgl. Merkhilfe)

\[f'(x) = 0\]

 

Erste Ableitung \(f'\) bilden:

Die erste Ableitung \(f'\) der Funktion \(f\) wird mithilfe der Produktregel, der Kettenregel, der Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion, der Ableitung einer Potenzfunktion sowie der Summen- und der Faktorregel gebildet.

 

\[f(x) = x \cdot e^{4 - 0{,}25x^{2}}; \; D_{f} = \mathbb R\]

Ableitungsregeln

Produktregel

\[f(x) = u(x) \cdot v(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\]

Kettenregel

\[f(x) = u(v(x)) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) \]

Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion

\[ f(x) = e^x \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = e^x\]

Ableitung einer Potenzfunktion

\[f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = rx^{r - 1} \quad (r \in \mathbb R)\]

Faktorregel

\(f(x) = a \cdot u(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = a \cdot u'(x)\)

Summenregel

\(f(x) = u(x) + v(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(x) + v'(x)\)

(vgl. Merkhilfe)

\[\left[u(x) \cdot v(x)\right]' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\]

 

\[u(x) = x); \; u'(x) = 1\]

\[\begin{align*}v(x) = e^{4 - 0{,}25x^{2}}; \; v'(x) &= e^{4 - 0{,}25x^{2}} \cdot (0 - 0{,}25 \cdot 2x) \\[0.8em] &= -0{,}5xe^{4 - 0{,}25x^{2}}\end{align*}\]

 

\[\begin{align*} f'(x) &= 1 \cdot e^{4 - 0{,}25x^{2}} + x \cdot \left( -0{,}5xe^{4 - 0{,}25x^{2}} \right) \\[0.8em] &= e^{4 - 0{,}25x^{2}} - 0{,}5x^{2}e^{4 - 0{,}25x^{2}} \\[0.8em] &= e^{4 - 0{,}25x^{2}} \cdot \left( 1 - 0{,}5x^{2} \right) \\[0.8em] &= 0{,}5e^{4 - 0{,}25x^{2}} \cdot \left( 2 - x^{2} \right) \end{align*}\]

 

Nullstellen von \(f'\) berechnen:

 

\[\begin{align*}f'(x) &= 0 \\[0.8em] \underbrace{0{,}5e^{4 - 0{,}25x^{2}}}_{>\,0} \cdot \left( 2 - x^{2} \right) &= 0\end{align*}\]

 

\[\begin{align*}\Longrightarrow \quad 2 - x^{2} &= 0 & &| + x^{2} \\[0.8em] 2 &= x^{2} & &| \; \sqrt{\quad} \\[0.8em] \pm \sqrt{2} &= x_{1,2} \end{align*}\]

 

An den Stellen \(x_{1} = -\sqrt{2}\) und \(x_{2} = \sqrt{2}\) besitzt der Graph der Funktion \(f\) eine waagrechte Tangente, welche auf einen Extrempunkt (bzw. einen Terrassenpunkt) hinweist.

 

Nachweis der Art der Extrempunkte:

Extrempunkte

Anwendung der Differentialrechnung:

Extrempunkte

Ist \(f'(x_{0}) = 0\) und wechselt \(f'\) an der Stelle \(x_{0}\) das Vorzeichen, so hat \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) einen Extrempunkt.

(vgl. Merkhilfe)

\[f'(x) = \underbrace{0{,}5e^{4 - 0{,}25x^{2}}}_{>\,0} \cdot \left( 2 - x^{2} \right)\]

 

Der Faktor \((2 - x^{2})\) bestimmt den Vorzeichenwechsel von \(f'\) in der Umgebung der Stellen \(x_{1} = -\sqrt{2}\) und \(x_{2} = \sqrt{2}\).

 

\((2 - x^{2}) < 0\) für \(x < -\sqrt{2}\) bzw. \(x > 2\)

\((2 - x^{2}) > 0\) für \(x > -\sqrt{2}\) bzw. \(x < 2\)

 

Somit ergibt sich:

Monotoniekriterium

Anwendung der Differetialrechnung:

Monotoniekriterium

\(f'(x) < 0\) im Intervall \( I \quad \Longrightarrow \quad G_{f}\) fällt streng monoton in \(I\)

\(f'(x) > 0\) im Intervall \( I \quad \Longrightarrow \quad G_{f}\) steigt streng monoton in \(I\)

(vgl. Merkhilfe)

\[\left. \begin{align*} &f'(x) < 0 \; \text{für} \; x < -\sqrt{2} \\[0.8em] &f'(-\sqrt{2}) = 0 \\[0.8em] &f'(x) > 0 \; \text{für} \; x > -\sqrt{2}  \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Tiefpunkt} \; TiP\big(-\sqrt{2} \big|f(-\sqrt{2}) \big)\]

 

\[\left. \begin{align*} &f'(x) > 0 \; \text{für} \; x < \sqrt{2} \\[0.8em] &f'(\sqrt{2}) = 0 \\[0.8em] &f'(x) < 0 \; \text{für} \; x > \sqrt{2}  \end{align*} \right\} \enspace \Rightarrow \enspace \text{Hochpunkt} \; HoP\big(\sqrt{2} \big|f(\sqrt{2}) \big)\]

 

Veranschaulichung mit einer Monotonietabelle:

 

\[f'(x) = \underbrace{0{,}5e^{4 - 0{,}25x^{2}}}_{>\,0} \cdot \left( 2 - x^{2} \right)\]

 

\(x\) \(x < -\sqrt{2}\) \(x = -\sqrt{2}\) \(x > -\sqrt{2}\)
\(0{,}5e^{4 - 0{,}25x^{2}}\) \(+\) \(+\) \(+\)
\((2 - x^{2})\) \(-\) \(0\) \(+\)
\(f'(x)\) \(-\) \(+\) \(+\)
\(G_{f}\) \(\searrow\) \(TiP \big(-\sqrt{2} \big| f(-\sqrt{2}) \big)\) \(\nearrow\)

 

\(x\) \(x < \sqrt{2}\) \(x = \sqrt{2}\) \(x > \sqrt{2}\)
\(0{,}5e^{4 - 0{,}25x^{2}}\) \(+\) \(+\) \(+\)
\((2 - x^{2})\) \(+\) \(0\) \(-\)
\(f'(x)\) \(+\) \(0\) \(-\)
\(G_{f}\) \(\nearrow\) \(HoP \big( \sqrt{2} \big| f(\sqrt{2}) \big)\) \(\searrow\)

 

 \(y\)-Koordinate der Extrempunkte berechnen:

 

\[f(x) = x \cdot e^{4 - 0{,}25x^{2}}; \; D_{f} = \mathbb R\]

 

\[f(-\sqrt{2}) = -\sqrt{2} \cdot e^{4 - 0{,}25 \cdot (-\sqrt{2})^{2}} = -\sqrt{2}e^{3{,}5}\]

\[\Longrightarrow \quad TiP\big( -\sqrt{2} \big| -\sqrt{2}e^{3{,}5} \big)\]

 

\[f(\sqrt{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{4 - 0{,}25 \cdot {\sqrt{2}}^{2}} = \sqrt{2}e^{3{,}5}\]

\[\Longrightarrow \quad HoP\big( \sqrt{2} \big| \sqrt{2}e^{3{,}5} \big)\]

 

Anmerkung:

Es ist ebenso möglich, zunächst die Lage und Art von nur einem der beiden Extrempunkte zu bestimmen und anschließend aufgrund der in Teilaufgabe a festgestellten Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung von \(f\) auf die Lage und Art des jeweils anderen Extrempunkts zu schließen.

 

c) Gleichung der Normale \(N\) im Punkt P\((0|f(0))\)

\(x = 0\) ist Nullstelle der Funktion \(f\) (vgl. Teilaufgabe b).

 

\[\Longrightarrow \quad P(0|0)\]

 

Die Normale \(N\) durch den Punkt \(P(0|0)\) (Koordinatenursprung) ist eine Ursprungsgerade. Der Ansatz erfolgt mit der Gleichung einer Ursprungsgeraden \(y = mx\). 

 

\[N \colon y = m_{N} \cdot x\]

 

Steigung \(m_{N}\) der Normalen \(N\) bestimmen:

Tangentensteigung, Normalensteigung

Anwendung der Differetialrechnung:

Tangentensteigung und Normalensteigung

Tangentensteigung: \(m_{T} = f'(x_0)\)

Normalensteigung: \(m_{N} = -\dfrac{1}{f'(x_0)}\)

(vgl. Merkhilfe)

Zwischen der Steigung \(m_{N}\) der Normalen \(N\) und der Steigung \(m_{T}\) der Tangente an \(G_{f}\) im Punkt \(P\) gilt:

 

\[m_{N} = -\frac{1}{m_{T}}\]

 

Die erste Ableitung der Funktion \(f\) an der Stelle \(x = 0\) beschreibt die Steigung \(m_{T}\) der Tangente \(T\) an \(G_{f}\) im Punkt \(P\).

 

\[m_{N} = -\frac{1}{m_{T}} = \frac{1}{f'(0)}\]

 

Die erste Ableitung \(f'\) ist aus Teilaufgabe b bereits bekannt:

 

\[f'(x) = 0{,}5e^{4 - 0{,}25x^{2}} \cdot \left( 2 - x^{2} \right)\]

 

Steigung \(m_{N}\) der Normalen \(N\) berechnen:

 

\[\begin{align*}m_{N} &= -\frac{1}{f'(0)} \\[0.8em] &= -\frac{1}{0{,}5e^{4 - 0{,}25 \cdot 0^{2}} \cdot (2 - 0^{2})} \\[0.8em] &= -\frac{1}{e^{4}}\end{align*}\]

 

Gleichung der Normalen \(N\) angeben:

 

\[N \colon y = -\frac{1}{e^{4}}x\]

2.3.2 Lagebeziehung von Gerade und Ebene

2.3.2 Lagebeziehung von Gerade und ...
2.3.2 Lagebeziehung von Gerade und Ebene