Klausuren Q11 / Q12 Mathematik Bayern

Aufgaben mit ausführlichen Lösungen

Gegeben ist die Gerade \(g\) mit der Gleichung \(g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\) sowie die Kugel \(K\) mit dem Mittelpunkt \(M(3|4|5)\) und dem Radius \(r = 3\).

Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Gerade \(g\) die Kugel \(K\) tangiert.

Gerade g berührt (tangiert) Kugel K

Die Gerade \(g\) berührt (tangiert) die Kugel \(K\), wenn der Abstand \(d(M;g)\) des Mittelpunkts \(M\) von der Geraden \(g\) gleich dem Radius \(r\) ist (vgl. Abiturskript - 2.7.3 Lagebeziehung Gerade - Kugel).

Anstatt nun relativ aufwendig den Abstand \(d(M;g)\) zu berechnen (vgl. Abiturskript - 2.4.1 Abstand Punkt - Gerade), ist es einfacher, den Ansatz für die Berechnung der gemeinsamen Punkte der Kugel \(K\) und der Geraden \(g\) zu wählen. 

 

Gleichung der Kugel \(K\) formulieren:

\(M(3|4|5)\), \(r = 3\)

Kugelgleichung

Kugelgleichung

Eine Kugel mit dem Mittelpunkt \(M(m_{1}|m_{2}|m_{3})\) und dem Radius \(r\) wird beschrieben durch:

Vektordarstellung

\[(\overrightarrow{X} - \overrightarrow{M})^{2} = r^{2}\]

Koordinatendarstellung

\[(x_{1} - m_{1})^{2} + (x_{2} - m_{2})^{2} + (x_{3} - m_{3})^{2} = r^{2}\]

\[K \colon (x_{1} - 3)^{2} + (x_{2} - 4)^{2} + (x_{3} - 5)^{2} = 9\]

 

Für die Berechnung der gemeinsamen Punkte der Kugel \(K\) und der Geraden \(g\) werden die Koordinaten des Ortsvektors \(\overrightarrow{X}\) der Gleichung der Geraden \(g\) in die Kugelgleichung eingesetzt. Es ergibt sich eine quadratische Gleichung für den Parameter \(\lambda\), welche im Falle eines Berührpunkts genau eine Lösung hat.

 

\[g \colon \overrightarrow{X} = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 + 2\lambda \\ 6 + 2\lambda \\ -3 - 3\lambda \end{pmatrix}; \; \lambda \in \mathbb R\]

 

\[\begin{align*} g \cap K \colon (6 + 2\lambda - 3)^{2} + (6 + 2\lambda - 4)^{2} + (-3 - 3\lambda - 5)^{2} &= 9 \\[0.8em] (3 + 2\lambda)^{2} + (2 + 2\lambda)^{2} + (-8 - 3\lambda)^{2} &= 9 \\[0.8em] 9 + 12\lambda + 4\lambda^{2} + 4 + 8\lambda + 4\lambda^{2} + 64 + 48\lambda + 9\lambda^{2} &= 9 \\[0.8em] 17\lambda^{2} + 68\lambda + 77 &= 9 &&| - 9 \\[0.8em] 17\lambda^{2} + 68\lambda + 68 &= 0 \end{align*}\]

 

Die quadratische Gleichung hat genau eine Lösung, wenn die Diskriminante \(D\) gleich Null ist.

Lösungsformel für quadratische Gleichungen

Lösungsformel für quadratische Gleichungen (vgl. Merkhilfe)

\[ax^2 + bx + c = 0 \,, \qquad a, b, c \in \mathbb R \,, \quad a \neq 0\]

\[\begin{align*} x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \quad b^2 \geq 4ac \\[0.8em] x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}, \quad D \geq 0 \end{align*}\]

Diskriminante \(D = b^2 -4ac \;\):

\(D < 0\,\): keine Lösung

\(D = 0\,\): genau eine Lösung

\(D > 0\,\): zwei verschiedene Lösungen

\[17\lambda^{2} + 68\lambda + 68 = 0 \quad \Longrightarrow \quad a = 17, \; b = 68, \; c = 68\]

 

\[D = b^{2} - 4ac = 68^{2} - 4 \cdot 17 \cdot 68 = 0\]

 

Also existiert genau ein gemeinsamer Punkt der Kugel \(K\) und der Gerade \(g\) (Berührpunkt). Folglich tangiert die Gerade \(g\) die Kugel \(K\).

2.3.1 Lagebeziehung von Geraden

2.3.1 Lagebeziehung von Geraden
2.3.1 Lagebeziehung von Geraden