Gegeben ist die Funktion \(f \colon x \mapsto \ln{\left( -\dfrac{3}{x} \right)}\). Der Graph der Funktion \(f\) wird mit \(G_{f}\) bezeichnet.
a) Bestimmen Sie das Verhalten von \(f\) an den Rändern des Definitionsbereichs \(D_{f}\).
b) Zeigen Sie durch Rechnung, dass \(G_{f}\) in \(D_{f}\) linksgekrümmt ist.
a) Verhalten von \(f\) an den Rändern des Definitionsbereichs \(D_{f}\)
\[f(x) = \ln{\left( -\frac{3}{x} \right)}\]
Definitionsmenge \(D_{f}\) der Funktion \(f\):
Die natürliche Logarithmusfunktion \(x \mapsto \ln{x}\) ist in \(\mathbb R^{+}\) definiert (vgl. Abiturskript - 1.3.1 Eigenschaften und Rechenregeln, Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion).
\[\Longrightarrow \quad -\frac{3}{x} > 0 \quad \Longrightarrow \quad x < 0\]
\[\Longrightarrow \quad D_{f} = \mathbb R^{-} = \; ]-\infty;0[\]
Verhalten von \(f\) an den Rändern von \(D_{f}\):
Es ist das Verhalten von \(f\) für \(x \to -\infty\) und \(x \to 0^{-}\) zu untersuchen.
\[\lim \limits_{x\,\to\,-\infty} f(x) = \lim \limits_{x\,\to\,-\infty} \underbrace{\ln{\bigg( \underbrace{-\frac{3}{x}}_{\to\,0^{+}}\bigg)}}_{\to\,-\infty} = -\infty\]
\[\lim \limits_{x\,\to\,0^{-}} f(x) = \lim \limits_{x\,\to\,0^{-}} \underbrace{\ln{\bigg( \underbrace{-\frac{3}{x}}_{\to\,+\infty}\bigg)}}_{\to\,+\infty} = +\infty\]
b) Nachweis, dass \(G_{f}\) in \(D_{f}\) linksgekrümmt ist
Der Nachweis des Krümmungsverhaltens erfolgt mithilfe der zweiten Ableitung \(f''\) der Funktion \(f\).
Anwendung der Differentialrechnung:
Krümmungsverhalten von Funktionsgraphen
\(f''(x) < 0\) im Intervall \(I \quad \Longrightarrow \quad G_f\) ist in \(I\) rechtsgekrümmt.
\(f''(x) > 0\) im Intervall \(I \quad \Longrightarrow \quad G_f\) ist in \(I\) linksgekrümmt.
(vgl. Merkhilfe)
Die Funktion \(f\) wird mithilfe der Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion, der Kettenregel sowie der Quotientenregel abgeleitet.
\[f(x) = \ln{\left( -\frac{3}{x} \right)}\]
Quotientenregel
\[f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}\]
Kettenregel
\[f(x) = u(v(x)) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) \]
Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion
\[f(x) = \ln x \enspace (x > 0) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = \frac{1}{x}\]
(vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*} f'(x) &= \frac{1}{-\frac{3}{x}} \cdot \left(-\frac{0 \cdot x - 3 \cdot 1}{x^{2}}\right) \\[0.8em] &= -\frac{x}{3} \cdot \frac{3}{x^{2}} \\[0.8em] &= -\frac{1}{x} \end{align*}\]
Die erste Ableitung \(f'\) kann entweder unter Anwendung der Quotientenregel oder nach Umformulieren von \(f'(x)\) in die Potenzschreibweise mithilfe der Ableitung einer Potenzfunktion abgeleitet werden.
\[f'(x) = -\frac{1}{x} = -x^{-1}\]
Quotientenregel
\[ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2}\]
Ableitung einer Potenzfunktionen
\[ f(x) = x^r \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = rx^{r - 1} \quad (r \in \mathbb R)\]
(vgl. Merkhilfe)
\[f''(x) = -\frac{0 \cdot x - 1 \cdot 1}{x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}\]
oder
\[f''(x) = (-1) \cdot (-1) \cdot x^{-2} = \frac{1}{x^{2}}\]
Anwendung der Differentialrechnung:
Krümmungsverhalten von Funktionsgraphen
\(f''(x) < 0\) im Intervall \(I \quad \Longrightarrow \quad G_f\) ist in \(I\) rechtsgekrümmt.
\(f''(x) > 0\) im Intervall \(I \quad \Longrightarrow \quad G_f\) ist in \(I\) linksgekrümmt.
(vgl. Merkhilfe)
Für alle \(x \in \mathbb R^{-}\) gilt \(f''(x) > 0\). Somit ist der Graph der Funktion \(f\) in \(D_{f} = \mathbb R^{-}\) linksgekrümmt.
