Überprüfen Sie die Vektoren \(\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\) und \(\overrightarrow{c} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}\) auf lineare Abhängigkeit und deuten Sie das Ergebnis geometrisch.
\(\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\), \(\overrightarrow{c} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}\)
Lineare (Un-)Abhängigkeit von zwei Vektoren
Zwei Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) sind
linear abhängig, wenn
\(\overrightarrow{a} \parallel \overrightarrow{b}\quad\) bzw. \(\quad\overrightarrow{a} = k \cdot \overrightarrow{b}\,; \enspace k \in \mathbb R \quad\) gilt.
linear unabhängig, wenn
\(\overrightarrow{a} \nparallel \overrightarrow{b}\quad\) bzw. \(\quad\overrightarrow{a} \neq k \cdot \overrightarrow{b}\,; \enspace k \in \mathbb R \quad\) gilt.
Lineare (Un-)Abhängigkeit von drei Vektoren
Drei Vektoren \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) und \(\overrightarrow{c}\) sind
linear abhängig, wenn
sie in einer Ebene liegen bzw. wenn
die lineare Vektorgleichung \(\overrightarrow{c} = r \cdot \overrightarrow{a} + s \cdot \overrightarrow{b}\) eine eindeutige Lösung hat.
linear unabhängig, wenn
sie den Raum \(\mathbb R^{3}\) aufspannen bzw. wenn
die lineare Vektorgleichung \(\overrightarrow{c} = r \cdot \overrightarrow{a} + s \cdot \overrightarrow{b}\) keine Lösung hat.
Bei der Untersuchung der linearen (Un)Abhängigkeit dreier Vektoren spielt es keine Rolle, welche der drei Vektoren \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) oder \(\overrightarrow{c}\) man als Linearkombination der beiden anderen Vektoren darzustellen versucht.
Je zwei der drei Vektoren \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) und \(\overrightarrow{c}\) sind linear unabhängig, denn kein Vektor lässt sich durch ein (skalares) Vielfaches von einem anderen Vektor darstellen.
Die Vektoren \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) und \(\overrightarrow{c}\) sind linear abhängig, wenn beispielsweise die lineare Vektorgleichung \(\overrightarrow{c} = r \cdot \overrightarrow{a} + s \cdot \overrightarrow{b}\) eine eindeutige Lösung hat, wenn sich also der Vektor \(\overrightarrow{c}\) als Linearkombination \(r \cdot \overrightarrow{a} + s \cdot \overrightarrow{b}\) der Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) darstellen lässt (vgl. Abiturskript - 2.1.2 Lineare (Un-)Abhängigkeit von Vektoren).
\[\begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} = r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}\]
Zeilenweise gelesen, ergibt die Vektorgleichung ein lineares Gleichungssystem:
\[\begin{align*} \text{I} & & & \quad \; 3 = \enspace r - 2s \\[0.8em] \text{II} & & \wedge \enspace & -3 = \enspace r + 3s \\[0.8em] \text{III} & &\wedge \enspace & \quad \; 1 = 2r + 4s \end{align*}\]
Das Gleichungssystem lässt sich beispielsweise mit dem Additionsverfahren \((\text{I} + (-1) \cdot \text{II})\) lösen:
\[\begin{align*} \text{I} + (-1) \cdot \text{II} \colon \; 3 + (-1) \cdot (-3) &= r + (-1) \cdot r -2s + (-1) \cdot 3s \\[0.8em] 6 &= r-5s &&| : (-5) \\[0.8em] -\frac{6}{5} &= s \end{align*}\]
\[\begin{align*} s = -\frac{6}{5} \; \text{in I} \colon \; 3 &= r - 2 \cdot \left( -\frac{6}{5} \right) \\[0.8em] 3 &= r + \frac{12}{5} & &| - \frac{12}{5} \\[0.8em] \frac{3}{5} &= r \end{align*}\]
\[\begin{align*} r = \frac{3}{5}, s = -\frac{6}{5} \; \text{in III}\colon \; 1 &= 2 \cdot \frac{3}{5} + 4 \cdot \left( -\frac{6}{5} \right) \\[0.8em] 1 &= \frac{6}{5} - \frac{24}{5} \\[0.8em] 1 &= -\frac{18}{5} \quad (\text{f}) \end{align*}\]
\(\Longrightarrow \quad\) keine eindeutige Lösung
\(\Longrightarrow \quad\)Die Vektoren \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) und \(\overrightarrow{c}\) sind linear unabhängig.
Geometrische Bedeutung des Ergebnisses:
Die Vektoren \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) und \(\overrightarrow{c}\) liegen nicht in einer Ebene, sie spannen einen Spat auf (vgl. Abiturskript - 2.1.5 Spaltprodukt).
