Berechnen Sie den Term \(q'(x)\) der ersten Ableitung von \(q\) und weisen Sie für die Funktion \(q\) nach, dass für die Extremstellen \(\tan x = -0{,}25\) gilt. Zeigen Sie damit, dass die Extremstellen von \(q\) nicht mit den Extremstellen der Kosinusfunktion übereinstimmen.
(6 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2d
\[q(x) = e^{-\frac{1}{4}x} \cdot \cos x\,\; \quad D = \mathbb R\]
Erste Ableitung \(q'\)
Produktregel
\[f(x) = u(x) \cdot v(x) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)\]
Kettenregel
\[f(x) = u(v(x)) \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) \]
Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion
\[ f(x) = e^x \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = e^x\]
Ableitung der Kosinusfunktion
\[ f(x) = \cos x \quad \Longrightarrow \quad f'(x) = -\sin x\]
(vgl. Merkhilfe)
\[\begin{align*}q'(x) &= -\frac{1}{4}e^{-\frac{1}{4}x} \cdot \cos x + e^{-\frac{1}{4}x} \cdot (-\sin x) \\[0.8em] &= -e^{-\frac{1}{4}x} \left ( \frac{1}{4} \cos x + \sin x \right ) \end{align*}\]
Nachweis, dass für die Extremstellen von \(q\) gilt: \(\tan x = -0{,}25\)
Notwendige Bedingung für Extremstellen von \(q\):
\[q'(x) \overset{!}{=} 0\]
\[\underbrace{-e^{-\frac{1}{4}x}}_{<\,0} \left ( \frac{1}{4} \cos x + \sin x \right ) = 0\]
\[\begin{align*} \Longrightarrow \quad \frac{1}{4} \cos x + \sin x &= 0 & &| : \cos x \enspace (x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, \enspace k \in \mathbb Z) \\[0.8em] \frac{1}{4} + \frac{\sin{x}}{\cos{x}} &= 0 & &| \; \tan{x} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}} \\[0.8em] \frac{1}{4} + \tan x &= 0 & &| -\frac{1}{4} \\[0.8em] \tan x &= -\frac{1}{4} \end{align*}\]
\(\Longrightarrow \quad\) Für die Extremstellen von \(q\) gilt: \(\tan x = -0{,}25\).
Nachweis, dass die Extremstellen von \(q\) nicht mit den Extremstellen der Kosinusfunktion übereinstimmen
Für die Extremstellen der Kosinusfunktion gilt:
\[x = k\pi, \enspace k \in \mathbb Z\]
\[\tan(k\pi) = 0\]
Für die Extremstellen der Funktion \(q\) gilt:
\[\begin{align*} \tan x &= -0{,}25 & &| \;\tan^{-1}(\dots) \\[0.8em] x &\approx -0{,}245 \end{align*}\]
\(\Longrightarrow \quad\) Extremstellen der Funktion \(q\): \(x = -0{,}245 + k\pi\,; \enspace k \in \mathbb Z\)
Folglich sind die Extremstellen der Funktion \(q\) gegenüber den Extremstellen der Kosinusfunktion um ca. -0,245 verschoben.
Anmerkung: Es ist ausreichend, zu zeigen, dass für die Extremstellen der Kosinusfunktion \(\tan(k\pi)\) = 0 gilt und daraus zu schließen, dass die Extremstellen von \(q\), für welche die Bedingung \(\tan{x} = -0{,}25\) gilt, nicht mit den Extremstellen der Kosinusfunktion übereinstimmen.
