Gegeben ist die Ebene \(E \colon 2x_{1} + x_{2} - 2x_{3} = -18\).
Der Schnittpunkt von \(E\) mit der \(x_{1}\)-Achse, der Schnittpunkt von \(E\) mit der \(x_{2}\)-Achse und der Koordinatenursprung sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks.
(2 BE)
Lösung zu Teilaufgabe 2a
Spurpunkte einer Ebene, Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks
Planskizze: Die Schnittpunkte \(S_{x_{1}}\) und \(S_{x_{2}}\) der Ebene \(E\) mit der \(x_{1}\)-Achse bzw. mit der \(x_{2}\)-Achse (Spurpunkte der Ebene \(E\)) bilden zusammen mit dem Koordinatenursprung das rechtwinklige Dreieck \(OS_{x_{1}}S_{x_{2}}\) mit den Katheten \([OS_{x_{1}}]\) und \([OS_{x_{2}}]\).
Koordinaten der Spurpunkte \(S_{x_{1}}\) und \(S_{x_{2}}\) berechnen:
\[E \colon 2x_{1} + x_{2} - 2x_{3} = -18\]
Der Spurpunkt \(S_{x_{1}}\) der Ebene \(E\) mit der \(x_{1}\)-Achse hat die Koordinaten \(S_{x_{1}}(x_{1}|0|0)\).
\[\begin{align*}S_{x_{1}} \in E \colon 2x_{1} + 0 - 2 \cdot 0 &= -18 \\[0.8em] 2x_{1} &= -18 & &| : 2 \\[0.8em] x_{1} &= -9 \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad S_{x_{1}}(-9|0|0)\]
Der Spurpunkt \(S_{x_{2}}\) der Ebene \(E\) mit der \(x_{2}\)-Achse hat die Koordinaten \(S_{x_{2}}(0|x_{2}|0)\).
\[\begin{align*} S_{x_{2}} \in E \colon 2 \cdot 0 + x_{2} - 2 \cdot 0 &= -18 \\[0.8em] x_{2} &= -18 \end{align*}\]
\[\Longrightarrow \quad S_{x_{2}}(0|-18|0)\]
Flächeninhalt \(A\) des Dreiecks \(OS_{x_{1}}S_{x_{2}}\) berechnen:
\[\begin{align*} A&= \frac{1}{2} \cdot \overline{OS_{x_{1}}} \cdot \overline{OS_{x_{2}}} \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \vert \overrightarrow{S_{x_{1}}} \vert \cdot \vert \overrightarrow{S_{x_{2}}} \vert \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left| \begin{pmatrix} -9 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 0 \\ -18 \\ 0 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{(-9)^{2} + 0^{2} + 0^{2}} \cdot \sqrt{0^{2} + (-18)^{2} + 0^{2}} \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 18 \\[0.8em] &= 81 \end{align*}\]
Alternative: Flächeninhalt \(A\) mithilfe des Vektorprodukts berechnen:
Der Vollständigkeit halber sei diese hier eher umständliche Alternative erwähnt.
Anwendung des Vekorprodukts
Der Betrag des Vektorprodukts \(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\) entspricht der Maßzahl des Flächeninhalts eines von zwei Vektoren \(\overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0}\) und \(\overrightarrow{b} \neq \overrightarrow{0}\) aufgespannten Parallelogramms.
\[\vert \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \vert = \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \textcolor{#cc071e}{\vert \overrightarrow{b} \vert \cdot \sin{\varphi}}\]
Flächeninhalt eines Parallelogramms
\[A = \vert \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \vert\]
Flächeninhalt eines Dreiecks
\[A = \frac{1}{2} \cdot \vert \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \vert\]
Vektorprodukt (Kreuzprodukt)
Das Vektorprodukt \(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\) zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) erzeugt einen neuen Vektor \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\) mit den Eigenschaften:
\(\overrightarrow{c}\) ist sowohl zu \(\overrightarrow{a}\) als auch zu \(\overrightarrow{b}\) senkrecht.
\[\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \quad \Longrightarrow \quad \overrightarrow{c} \perp \overrightarrow{a}, \enspace \overrightarrow{c} \perp \overrightarrow{b}\]
Der Betrag des Vektorprodukts zweier Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) ist gleich dem Produkt aus den Beträgen der Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) und dem Sinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels \(\varphi\).
\[\vert \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \vert = \vert \overrightarrow{a} \vert \cdot \vert \overrightarrow{b} \vert \cdot \sin{\varphi} \quad (0^{\circ} \leq \varphi \leq 180^{\circ})\]
Die Vektoren \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\) und \(\overrightarrow{c}\) bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem. Rechtehandregel: Weist \(\overrightarrow{a}\) in Richtung des Daumens und \(\overrightarrow{b}\) in Richtung des Zeigefingers, dann weist \(\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\) in Richtung des Mittelfingers.
Berechnung eines Vektorprodukts im \(\boldsymbol{\mathbb R^{3}}\) (vgl. Merkhilfe)
\[\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \begin {pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end {pmatrix} \times \begin {pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} a_2 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_2 \\ a_3 \cdot b_1 - a_1 \cdot b_3 \\ a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1 \end {pmatrix}\]
\[\begin{align*} A&= \frac{1}{2} \cdot \left| \overrightarrow{S_{x_{1}}} \times \overrightarrow{S_{x_{2}}} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left| \begin{pmatrix} -9 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ -18 \\ 0 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left| \begin{pmatrix} 0 & \cdot & 0 & - & 0 & \cdot & (-18) \\ 0 & \cdot & 0 & - & (-9) & \cdot & 0 \\ (-9) & \cdot & (-18) & - & 0 & \cdot & 0 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 162 \end{pmatrix} \right| \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{0^{2} + 0^{2} + 162^{2}} \\[0.8em] &= \frac{1}{2} \cdot 162 \\[0.8em] &= 81 \end{align*}\]
Der Flächeninhalt des Dreiecks, das der Schnittpunkt der Ebene \(E\) mit der \(x_{1}\)-Achse, der Schnittpunkt der Ebene \(E\) mit der \(x_{2}\)-Achse und der Koordinatenursprung festlegen, beträgt 81 FE (Flächeneinheiten).
