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- Kategorie: Analysis 2
Die Abbildung zeigt den Graphen der in \(\mathbb R\) definierten Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{4}{1+e^x}\). Der Graph ist symmetrisch bezüglich seines Wendepunkts \((0|2)\).
Begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass \(f\) keine Nullstelle hat, und geben Sie \(\lim \limits_{x\,\to\,-\infty} f(x)\) sowie \(\lim \limits_{x\,\to\,+\infty} f(x)\) an.
(3 BE)
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- Kategorie: Analysis 2
Berechnen Sie die mittlere Steigung des Graphen von \(f\) im Bereich \(-1 \leq x \leq 1\) auf Hundertstel genau und bestimmen Sie grafisch die Steigung des Graphen von \(f\) in seinem Wendepunkt.
(5 BE)
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- Kategorie: Analysis 2
Für die in \(\mathbb R\) definierte erste Ableitungsfunktion \(f'\) von \(f\) gilt \(f'(-x) = f'(x)\). Geben Sie die Bedeutung dieser Tatsache im Hinblick auf den Verlauf des Graphen von \(f'\) an und skizzieren Sie in der Abbildung den Graphen von \(f'\).
(3 BE)
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- Kategorie: Analysis 2
Betrachtet wird die in \(\mathbb R\) definierte Funktion \(F \colon x \mapsto 4x - 4 \cdot \ln{(e^x+1)}\).
Zeigen Sie, dass die Funktion \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist.
(3 BE)
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- Kategorie: Analysis 2
Beurteilen Sie die folgende Aussage:
Der Graph von \(F\) verläuft vollständig unterhalb der \(x\)-Achse.
(3 BE)
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- Kategorie: Analysis 2
Begründen Sie, dass der Wert des Integrals \(\displaystyle \int_{-k}^k f(x)dx\) für jede positive reelle Zahl \(k\) ohne Verwendung einer Stammfunktion von \(f\) exakt bestimmt werden kann, und geben Sie den Wert des Integrals an.
(4 BE)
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- Kategorie: Analysis 2
Betrachtet wird die Schar der in \(\mathbb R\) definierten Funktionen \(w_{a;b;c} \colon x \mapsto \dfrac{a}{b+e^{cx}}\) mit \(a,b \in \mathbb R^+\) und \(c \in \mathbb R\). Die Funktion aus Aufgabe 1 ist eine Funktion dieser Schar.
Jeder der abgebildeten Graphen I, II und III der Schar gehört, bei festen Werten von \(a\) und \(b\), zu einem der Werte \(c = -1\), \(c = 0\) und \(c = 1\).
Ordne Sie den Graphen die genannten Werte von \(c\) zu und begründen Sie Ihre Zuordnung.
(4 BE)
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- Kategorie: Analysis 2
Auf einer Inselgruppe wurden Seeadler neu angesiedelt. Betrachtet wird die anschließende Entwicklung der Anzahl der Seeadler. In einem Modell wird diese Entwicklung mithilfe des Graphen der Funktion \(w_{40;1;-0{,}2}\) beschrieben, die im Folgenden mit \(w\) bezeichnet wird. Es gilt also \(w(x) = \dfrac{40}{1+e^{-0{,}2x}}\). Dabei ist \(x\) die seit der Ansiedlung vergangene Zeit in Jahren und \(w(x)\) die Anzahl der Seeadler.
Geben Sie auf der Grundlage des Modells an, wie viele Seeadler angesiedelt wurden, und begründen Sie, nach wie vielen Jahren die Anzahl der Seeadler auf 32 angewachsen ist.
(4 BE)
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- Kategorie: Analysis 2
Die Tangente an den Graphen von \(w\) im Punkt \((0|w(0))\) hat die Steigung \(2\). Würde die Entwicklung der Anzahl der Seeadler im Modell mithilfe dieser Tangente beschrieben werden, so ergäbe sich für den Zeitpunkt vier Jahre nach der Ansiedlung eine bestimmte Anzahl von Seeadlern. Untersuchen Sie, ob diese Anzahl mit derjenigen übereinstimmt, die sich bei einer Beschreibung mithilfe des Graphen von \(w\) ergeben würde.
(3 BE)
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- Kategorie: Analysis 2
Unter bestimmten anderen Gegebenheiten auf der Inselgruppe kann die Entwicklung der Anzahl der Seeadler im Modell mithilfe des Graphen einer anderen Funktion aus der Schar der Funktionen \(w_{a;b;c}\) beschrieben werden. Das folgende Gleichungssystem ermöglicht die Bestimmung der zugehörigen Werte von \(a\), \(b\) und \(c\).
\[\textsf{(1)} \enspace \frac{a}{b+1} = 20\]
\[\textsf{(2)}\enspace \lim \limits_{x\,\to\,+\infty} \frac{a}{b+e^{cx}} = 45\]
\[\textsf{(3)} \enspace \frac{a}{b+e^{15c}} = 35\]
Interpretieren Sie jede der drei Gleichungen im Sachzusammenhang.
(3 BE)
